2017　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(1)　不等式$9\times 2^x+15\times 4^x-2\times 8^x>8$を解け．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{1+\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{x^3}{x^2-2x+2}}dx$を求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(3)　等比数列$\{a_n\}\text{，}$等差数列$\{b_n\}$と自然数$k\text{（}k\geqq 4\text{）}$があって，$a_1=b_1\text{，}{a}_2=b_2\text{，}{a}_3=b_k$を満たしている．$a_4=b_m$となる$m$を$k$の式で表せ．ただし，$a_1\ne a_2$とする．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(4)　$x>0$の範囲に$2$つの曲線$C_1\text{：}4x^2+y^2=10$と$C_2\text{：}{x}^2-y^2=10$があって，$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する$2$本の直線を$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2$および$C_1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_1$とし，$l_1\text{，}{l}_2$および$C_2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1+V_2$の値を求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(5)　$\sqrt{n}$の整数部分を$a$としたとき，不等式${\displaystyle \frac{7}{6}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{a}}<{\displaystyle \frac{6}{5}}$が成り立つような最小の自然数$n$を求めよ．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$があって，$▵\mathrm{OAB}$の内部に点$\mathrm{D}$がある．実数$t\text{（}0<t<1\text{）}$に対して，線分$\mathrm{CD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$は$▵\mathrm{ABC}$の内部にあり，$▵\mathrm{ABC}$と線分$\mathrm{PQ}$は直交している．また，点$\mathrm{R}$は$▵\mathrm{OBC}$の内部にあり，$▵\mathrm{OBC}$と線分$\mathrm{PR}$は直交している．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$x\text{，}y\text{，}t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．四面体$\mathrm{PABC}$の体積を$x\text{，}y\text{，}t\text{，}V$で表せ．

(3)　$2$つの四面体$\mathrm{PABC}\text{，}\mathrm{POBC}$の体積の和が四面体$\mathrm{POAB}$の体積と等しいとき，$t$を$x\text{，}y$で表せ．

【３】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$360$の約数の個数を求めよ．ただし，$1$も約数に含める．

(2)　$6$枚のカード$\boxed{1}\boxed{2}\boxed{2}\boxed{3}\boxed{3}\boxed{3}$を並べて自然数を作る．いくつ作ることができるか．

(3)　サイコロを$6$回振り，出た目を掛け合わせた積を$X\text{，}X$の約数の個数を$Y\text{，}Y$のとりうる最大の値を$m$とする．ただし，$1$も約数に含める．また，各$j\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{）}$について，$j$の目の出た回数を$k_j$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$Y$を$k_j\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{）}$で表せ．

(ⅱ)　$X$が$7500$となるサイコロの目の出方は何通りあるか．

(ⅲ)　　$Y=m$のとき，$k_2=k_3=K_4=0$であることを数式を用いて説明せよ．

(ⅳ)　$Y=m$となるサイコロの目の出方は何通りか．