2017　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(3,5)\text{，}\mathrm{B}(-3,-1)$がある．また，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から等距離にある$x$軸上の点を$\mathrm{P}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{Q}$を通り，$▵\mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線$l$の方程式を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　関数$y=\cos ({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{5}}\pi )$のグラフは，$y=\cos {\displaystyle \frac{3}{4}}x$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ア}}$だけ平行移動したものである．また，この関数$y=\cos ({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{5}}\pi )$は$\boxed{\text{イ}}$を周期とする周期関数である．

　上の文章の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$に適切な値を入れて文章を完成させよ．なお，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$には，あてはまる値のうち正で最小のものを答えよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos ({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{5}}\pi )<0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 2x\cos ({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{5}}\pi )<0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【３】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，数直線上の点${\mathrm{A}}_n$とその座標$a_n$を次のように定める．

(ⅰ)　$a_1=0$とする．

(ⅱ)　$a_2=1$とする．

(ⅲ)　${\mathrm{A}}_{n+2}$は$2$点${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{A}}_{n+1}$を結ぶ線分の中点とする．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_{n+2}$を$a_n$と$a_{n+1}$の式で表せ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$a_n={\displaystyle \frac{171}{256}}$となる$n$を求めよ．

【４】　不等式${\log }_{\sqrt{x}}2+1{\log }_x(20-y)$の表す領域を$D$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$D$に含まれる点$(x,y)$のうち，$x\text{，}y$がともに自然数であるような点の個数を求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，$0<s<1$として，線分$\mathrm{EF}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$s\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{DG}$上にある点$\mathrm{P}$を実数$r$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+r\overrightarrow{\mathrm{DG}}$と表すとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$r\text{，}s\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$で定まる平面$\mathrm{OBC}$と直線$\mathrm{DG}$の交点が辺$\mathrm{BC}$上にあるような$s$の値を求めよ．