2017　首都大学東京　前期MathJax

【１】　$k$を正の実数とし，$2$次方程式$8x^2-12kx+3k^2+8=0$は$\sin \theta +2\cos \theta \text{，}2\sin \theta +\cos \theta$を解に持つとする．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\sin \theta +\cos \theta \text{，}\sin \theta \cos \theta$をそれぞれ$k$を用いて表しなさい．

(2)　$k$の値を求めなさい．

(3)　$\sin \theta \text{，}\cos \theta$の値を求めなさい．

【２】　$2$個の文字$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を重複を許して左から並べて$7$文字の順列を作る．次の条件をみたす順列はそれぞれいくつあるか答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$が$5$個以上現れる．

(2)　$\mathrm{AABB}$がこの順に連続して現れる．

(3)　$\mathrm{A}$が$3$個以上連続して現れる．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，$a>0$とする．$f(x)=a{x}^2+b\text{，}g(x)=|x+1|+|x-1|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$g(x)=6$をみたす$x$の値を求めなさい．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがちょうど$3$点で接するような$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(3)　$a\text{，}b$が(2)で求めた値のとき，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めなさい．

【４】　数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}=2a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$を求めなさい．

(2)　$x\text{，}y$についての$1$次不定方程式$a_{5}x+a_{4}y=1$の整数解をすべて求めなさい．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_n$と$a_{n+1}$が互いに素であることを示しなさい．

【１】　$n$を自然数とし，$e$を自然対数の底とする．関数

$f(x)=x^{n-1}{e}^{-x}$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$x\geqq 0$のとき$e^x>{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$が成り立つことを，$n$に関する数学的帰納法によって示しなさい．

(2)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めなさい．

(3)　$n\geqq 3$の場合に，$x>0$の範囲における$f(x)$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めなさい．また，$x>0$の範囲における$y=f(x)$のグラフの変曲点の$x$座標を求めなさい．

【２】　複素数平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(2-4\sqrt{3}i)\text{，}\mathrm{B}(3+\sqrt{3}i)$を考える．ただし，$i$を虚数単位とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外側に，$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BO}\text{，}\mathrm{OA}$をそれぞれ$1$辺とする正三角形$\mathrm{ALB}\text{，}\mathrm{BMO}\text{，}\mathrm{ONA}$を作る．以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を表す複素数をそれぞれ求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{OL}$と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$を表す複素数を求めなさい．

(3)　$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{N}$が一直線上にあることを示しなさい．

【３】　$x$は$0\leqq x\leqq 1$をみたす実数とし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|1-t|e^{1-t}dt$を求めなさい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|\pi \sin (\pi t)|dt$を求めなさい．

(3)　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}\{|1-t|e^{1-t}-|\pi \sin (\pi t)|\}dt\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めなさい．

【１】　正の実数$h$と関数$f(x)=x^4$に対し，以下の問いに答えなさい．

(1)　$F(h)={\displaystyle {\int }_{1-h}^{1+h}}f(x)dx$を$h$の整式として表しなさい．

(2)　放物線$y=a{(x-1)}^2+b(x-1)+c$が$3$点

$(1-h,f(1-h))\text{，}(1,f(1))\text{，}(1+h,f(1+h))$

を通るとき，$c$の値を求めなさい．また，$a$と$b$を$h$の整式としてそれぞれ表しなさい．

(3)　(2)で求めた$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$G(h)={\displaystyle {\int }_{1-h}^{1+h}}\{a{(x-1)}^2+b(x-1)+c\}dx$を$h$の整式として表しなさい．

(4)　(1)の$F(h)$と(3)の$G(h)$に対して，${\displaystyle \frac{F(h)-G(h)}{h^5}}$を求めなさい．

【２】　座標空間に$4$点

$\mathrm{A}(-3,0,2)\text{，}\mathrm{B}(1,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,3,5)\text{，}\mathrm{D}(2,2,7)$

をとる．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線を$m$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$l$と$m$が垂直であることを示しなさい．

(2)　$\mathrm{P}$を$l$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の両方に垂直であるとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めなさい．

(3)　$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}$を$l$上の異なる$2$点とし，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を$m$上の異なる$2$点とする．$\overrightarrow{\mathrm{LK}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は同じ向きに平行であり，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$は同じ向きに平行であるとする．また，$3$つの線分$\mathrm{KL}\text{，}\mathrm{LM}\text{，}\mathrm{MN}$は同じ立方体の$3$つの辺であるとする．このとき，線分$\mathrm{KN}$の中点の座標を求めなさい．

【３】　各項が実数である無限数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$に対し，関数

$f_n(x)={\displaystyle \frac{a_{n}x-b_n}{(2^{n+1}-2)x-(2^{n+1}-1)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．ただし，$a_1=0\text{，}{b}_1=1$とする．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，

$f_{n+1}(x)=f_n(f_1(x))(x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}，x\ne {\displaystyle \frac{2^{n+2}-1}{2^{n+2}-2}})$

が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$f_2(x)$と$a_2\text{，}{b}_2$を求めなさい．

(2)　$t=f_1(t)=f_2(t)=f_3(t)=\cdots$をみたす実数$t$をすべて求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めなさい．