2017　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)

${\displaystyle \frac{148953}{298767}}$

を約分して，既約分数にせよ．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos 2x}}dx$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　空間上の$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{AD}=2\sqrt{2}\text{，}\angle \mathrm{BAC}=45\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{CAD}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{DAB}=90\mathrm{°}$をみたす．このとき，この$4$点を通る球の半径を求めよ．

【１】　　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$

とする．このとき，導関数$f^{\prime }(x)$の最大値を求めよ．

【２】　$k\text{，}m\text{，}n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を

$f(x)=\sin (k+{\displaystyle \frac{1}{2}})x-\sin (k-{\displaystyle \frac{1}{2}})x$

とする．このとき，$f(x)$を

$f(x)=2\cos \boxed{\mathrm{X}}\times \sin \boxed{\mathrm{Y}}$

の形で表したい．$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$に入る式をそれぞれ求めよ．

(2)　$x$を$\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}x\ne 0$をみたす実数とする．このとき，

${\displaystyle \frac{\sin (m+{\displaystyle \frac{1}{2}})x}{2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}x}}-{\displaystyle \sum _{k=1}^m}\cos kx$

を求めよ．

(3)　関数

$g_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(n+1-k)\cos kx$

に対して，

$g_n(x)\geqq -{\displaystyle \frac{n+1}{2}}$

がつねに成り立つことを証明せよ．

【３】　投げたとき，表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$であるコインがある．ただし，$p$は$0<p<1$をみたす実数である．$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君はこのコインを使って以下のような公平な勝負をすることを思いついた．

・コインを$2$回投げる．

・はじめに表，次に裏が出たら$\mathrm{A}$君の勝ちとする．

・はじめに裏，次に表が出たら$\mathrm{B}$君の勝ちとする．

・それ以外だった場合，始めからやり直す．

以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対して，コインをちょうど$2n$回投げて$\mathrm{A}$君が勝つ確率と，コインをちょうど$2n$回投げて$\mathrm{B}$君が勝つ確率は等しいことを証明せよ．

(2)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君のどちらかが勝つまでにコインを投げる回数が$2n$回以下である確率を求めよ．

(3)　(2)で求めた確率は$p$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき最大になることを証明せよ．

(4)　$x$を$0<x<1$をみたす実数とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n=0$

を証明せよ．

(5)　コインをちょうど$2n$回投げたときに勝負がつく確率を$a_n$とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}2i{a}_i$

を求めよ．

【４】　大腸菌によるタンバク質の生成に関する実験を考える．シャーレに大腸菌を入れ培養し，$3$時間後，$6$時間後，$9$時間後に生成されたたんぱく質の量を測定する（複数のシャーレを用いて測定する．それぞれのシャーレごとに測定誤差が出る）．各時間ごとに，測定されたタンパク質の量の平均値を以下に示す．

時間後のタンパク質の量（$\mathrm{mg}$）を$P(t)$とする．初期値は，$P_0=P(0)=5.0$である．

　生成されるタンパク質の量は，方程式

$P^{\prime }(t)=\kappa -\gamma P(t)$(＊)

をみたす$P(t)$で近似されることが知られている．ここで$\kappa$および$\gamma$は定数で，$\gamma$を決めることがもっとも重要な問題である．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数

$P(t)={\displaystyle \frac{\kappa }{\gamma }}+(P_0-{\displaystyle \frac{\kappa }{\gamma }})e^{-\gamma t}$

は方程式(＊)の解であることを証明せよ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\kappa }{\gamma }}$とすると，(＊)の解は

$P(t)=\alpha +(5.0-\alpha )e^{-\gamma t}$

となる．この解を実験データに合わせたい．そのために$t=3$および$t=9$のデータの平均値を使う．すなわち，

$P(3)=11.0\text{，}P(9)=17.0$

とする．このとき，関係式

$e^{-9\gamma }={(e^{-3\gamma })}^3$

を用いて$\alpha$の値を求めよ．

(3)　$P(3)=11.0$および(2)の$\alpha$を用いて$\gamma$を求めよ．簡単にするため，$a$と$b$を定数として

$\gamma =a\log b$

の形で表せ（可能な限り簡潔な形にせよ）．

(4)　以上のことを用いて$P(6)$の値を求めよ．