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2017 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【1】 三角形 ABC において, AB =x BC =y CA= z とする. x y z x 2+y 2=3 z2 を満たすとき, ABC の余弦の最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  a b c d は実数とする.次の不等式が成り立つことを証明せよ.

(1)  a2+ b2 2 ( a+b 2) 2

(2)  a2+ b2+ c2 ab+ bc+ ca

(3)  a2+ b2+ c2+ d2 4 ( a +b+c +d4 ) 2

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易□ 並□ 難□

【3】  e を自然対数の底とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  x>0 のとき,不等式 e x>1 +x が成り立つことを証明せよ.

(2)  n は正の整数とする. x>0 のとき,不等式 e x>1 + m= 1n xmm ! が成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数 m に対して, m!= 1×2× 3× ×m である.

(3)  N が正の整数のとき, limx x Nex =0 が成り立つことを証明せよ.

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【4】 曲線 y =loge x C とし,原点を通る C の接線を l とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.

(1) 直線 l の方程式を求めよ.

(2) 曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

(3) 曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた部分を, y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

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