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2017-11341-0101
2017 富山県立大学 前期工学部
易□ 並□ 難□
【1】 三角形 ABC において, AB =x ,BC =y ,CA= z とする. x ,y , z が x 2+y 2=3⁢ z2 を満たすとき, ∠ABC の余弦の最小値を求めよ.
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数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【2】 a ,b , c ,d は実数とする.次の不等式が成り立つことを証明せよ.
(1) a2+ b2 2≧ ( a+b 2) 2
(2) a2+ b2+ c2≧ a⁢b+ b⁢c+ c⁢a
(3) a2+ b2+ c2+ d2 4≧ ( a +b+c +d4 ) 2
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【3】 e を自然対数の底とするとき,次の問いに答えよ.
(1) x>0 のとき,不等式 e x>1 +x が成り立つことを証明せよ.
(2) n は正の整数とする. x>0 のとき,不等式 e x>1 + ∑m= 1n xmm ! が成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数 m に対して, m!= 1×2× 3×⋯ ×m である.
(3) N が正の整数のとき, limx →∞ x Nex =0 が成り立つことを証明せよ.
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【4】 曲線 y =loge ⁡x を C とし,原点を通る C の接線を l とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) 曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) 曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた部分を, y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.