2017　静岡県立大学　前期MathJax

【１】　図１のように，$1$から$6$までの番号が書かれたカードが一列に並べられている．$1$個のさいころを投げ，出た目と同じ番号が書かれたカードに○を書き込むという操作を$3$回繰り返す．ただし，$2$回目，$3$回目の操作において，すでに○が書き込まれているカードの番号と同じ目が出た場合は○を書き込まない．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$1\text{，}2\text{，}3$の番号が書かれた$3$枚のカードに○が書き込まれる確率を求めよ．

(2)　$3$枚のカードに○が書き込まれる確率を求めよ．

(3)　連続して並んでいる$3$枚のカードに○が書き込まれる確率を求めよ．

(4)　$2$枚のカードだけに○が書き込まれる確率を求めよ．

【２】　座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　円$C$と直線$y=-2x-1$の共有点の座標を求めよ．また，求めた共有点における円$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}k$を実数とする．直線$y=ax+k$が円$C$に接するとき，$k$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$を正の実数とする．点$(x,y)$が連立不等式$x^2+y^2\leqq 1\text{，}y\leqq -2x-1$の表す領域を動くとき，$-ax+y$の最大値を$a$を用いて表せ．なお，そのときの$x\text{，}y$は求めなくてよい．

【３】　$t$を$0<t<1$である実数とする．鋭角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とし，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$点$\mathrm{D}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$を$t\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|$を$t\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CE}}\right|$を$t\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$を$t\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$を用いて表せ．

(5)　四角形$\mathrm{CEFD}$の面積が最大となるとき，$t$の値を求めよ．また，そのときの面積を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　$k$を正の実数とする．関数$f(x)=x{e}^{-kx}$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　定数$a$について，$f(x)=a$を満たす$x$の個数を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-kx}=0\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^{-kx}=-\infty$を用いてよい．

(2)　曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，および直線$x=k$で囲まれた部分の面積$S(k)$を求めよ．また，$\underset{k\to \infty }{\lim }S(k)$を求めよ．