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2017 滋賀県立大学 後期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 定積分 0 π3 sin2 xsin 3x dx を求めよ.

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工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】

(2) 媒介変数 t を用いて, x=e -t sint y=e -t cos t( 0t π 2 ) で表される曲線の長さ L を求めよ.

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【1】

(3) 複素数 z に関する方程式 z 5( z )2 =4 | z| 2 i を満たす z の偏角 θ と絶対値 | z| を求めよ.ただし, z z と共役な複素数を表す.また, i は虚数単位である.

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【2】  n を自然数とし, an= l=1 n 1 l とする.このとき,次の不等式が成り立つことを示せ.

(1)  an 2 n-1

(2)  m= 1n ( m am +1 )2 18 n( n+1 )

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【3】 平面上に 4 A B C D がある. A B C は,定点 O を中心とする半径 r r> 0 の円 K 上の点である. OA =a OB = b OC =c OD =d とおいたとき, a +c =p b b +d =pc p 0 でない実数)を満たしている.

(1) 内積 a b p r を用いて表せ.

(2)  D は, p の値によらず K 上の点であることを示せ.

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【4】  0x π の範囲において曲線 C1 y=2 sinx C2 y=sin 2x がある.また,直線 l x=a 0<a< π がある. C1 l の交点を A C2 l の交点を B とする.

(1) 線分 AB の長さの最大値とそのときの a の値を求めよ.

(2)  a は(1)で求めた値とする.このとき,次を求めよ.

(ア)  C1 C2 l で囲まれた部分のうち, ax π を満たす部分の面積 S

(イ)  C1 C2 l で囲まれた部分のうち, 0x a を満たす部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V

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