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2017-11521-0201
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2017 滋賀県立大学 後期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 定積分 ∫0 π3 sin⁡2⁢ x⁢sin⁡ 3⁢x⁢ dx を求めよ.
2017-11521-0202
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(2) 媒介変数 t を用いて, x=e -t ⁢sin⁡t , y=e -t ⁢cos⁡ t( 0≦t≦ π 2 ) で表される曲線の長さ L を求めよ.
2017-11521-0203
T氏の数学日記さんの解答(24行)へ
(3) 複素数 z に関する方程式 z 5( z‾ )2 =4⁢ | z| 2⁢ i を満たす z の偏角 θ と絶対値 | z| を求めよ.ただし, z‾ は z と共役な複素数を表す.また, i は虚数単位である.
2017-11521-0204
【2】 n を自然数とし, an= ∑ l=1 n 1 l とする.このとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
(1) an ≦2⁢ n-1
(2) ∑m= 1n ( m am +1 )2 ≧ 18 ⁢ n⁢( n+1 )
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【3】 平面上に 4 点 A ,B , C , D がある. A ,B , C は,定点 O を中心とする半径 r ( r> 0 ) の円 K 上の点である. OA→ =a→ ,OB →= b→ , OC→ =c→ , OD→ =d→ とおいたとき, a→ +c→ =p⁢ b→ , b→ +d→ =p⁢c → ( p は 0 でない実数)を満たしている.
(1) 内積 a →⋅ b→ を p , r を用いて表せ.
(2) D は, p の値によらず K 上の点であることを示せ.
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【4】 0≦x ≦π の範囲において曲線 C1: y=2⁢ sin⁡x , C2 :y=sin ⁡2⁢x がある.また,直線 l :x=a ( 0<a< π ) がある. C1 と l の交点を A ,C2 と l の交点を B とする.
(1) 線分 AB の長さの最大値とそのときの a の値を求めよ.
(2) a は(1)で求めた値とする.このとき,次を求めよ.
(ア) C1 , C2 , l で囲まれた部分のうち, a≦x≦ π を満たす部分の面積 S
(イ) C1 , C2 ,l で囲まれた部分のうち, 0≦x ≦a を満たす部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V