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2017-11546-0101
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2017 京都府立大学 前期
生命環境(環境・情報科学科)学部
配点100点
易□ 並□ 難□
【1】 n を 0 以上の整数とする. xn= 2⁢cos⁡ 2 ⁢n17 ⁢ π のとき以下の問いに答えよ.
(1) s=x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8 とするとき, x1 ⁢(s +1) =2⁢s +2 となることを示せ.
(2) t=x 1+x 2+x 4+x 8 とするとき, t2+ t-4= 0 となることを示せ.
(3) x1 +x4 の値を求めよ.
2017-11546-0102
【2】 1 辺の長さが 2 の正三角形を ▵ OAB とする. ▵OAB の内接円を C 1 とする. 2 辺 OA , OB と円 C n-1 に接する円を C n として C n ( n=2 ,3 , 4 ,⋯ ) を定める.以下の問いに答えよ.
(1) k を自然数とする. Ck の半径が C 1 の半径の 0.001 倍未満となる最小の k を求めよ.
(2) Cn の面積を s n とするとき, ∑n=1 ∞ sn の値を求めよ.
2017-11546-0103
【3】 α を実数とする. O を原点とする座標空間内に 3 点 A (3 ,-3,-3 ), B (3 ,-1,3 ), C (α ,1,1 ) がある. A を通り m1→ =(1 ,2,1 ) に平行な直線を l 1 とする. B を通り m2→ =(- 1,1, 1) に平行な直線を l 2 とする.点 P は l 1 上にあり,点 Q は l 2 上にある. |PQ → | が最小となるとき,以下の問いに答えよ.
(1) P と Q の座標を求めよ.
(2) ▵OPQ の面積を求めよ.
(3) 3 点 O , P , Q の定める平面を π とする. C を通り π の法線ベクトルに平行な直線を l 3 とする. l3 と π の交点を H とする. H が ▵ OPQ の周上にあるとき, α の値をすべて求めよ.
2017-11546-0104
【4】 x>0 で定義された微分可能な関数 f ⁡(x ) を
3⁢x⁢ f⁡( x)+ 3⁢ ∫1x f⁡ (t) ⁢dt=4 ⁢x3 +3⁢ ∫12 f⁡( t)⁢ dt
によって定める.曲線 C :y=f ⁡(x ) を考える.以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) を求めよ.
(2) g⁡( x)= |x-1 |⁢ f⁡( x) とおくとき, g⁡( x) は x =1 で微分可能でないことを示せ.
(3) C と直線 l :y=a との共有点の個数を, a の値によって分類せよ.
(4) C と 3 直線 y =0 ,x= 1 ,x= 2 で囲まれた部分を, x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
2017-11546-0105
生命環境(生命分子化,森林科学科)学部
(1)〜(3)で配点80点
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) P=x4 +9⁢ x3-12 ⁢x2 +9⁢x- 3 とする. x=-5 -2⁢7 のとき, P の値を求めよ.
2017-11546-0106
(2) x ,y を自然数とするとき, 2⁢x 2+x⁢ y-5⁢x -y2 +y-30= 0 であるような組 ( x,y ) をすべて求めよ.
2017-11546-0107
(3) 実数 a に対し, f⁡( θ)= cos2⁡θ +6⁢a⁢ sin⁡θ+ 8⁢a- 2 ( 0≦θ≦ π ) とする.方程式 f ⁡(θ )=0 が解をもつとき, a の値の範囲を求めよ.
2017-11546-0108
配点60点
【2】 α ,β を実数とする. xy 平面上に放物線 C 1:y =- 13⁢ x2 - 5⁢3 3⁢ x- 6 と点 A ( 0,6 ) を中心とする円 C 2 がある. C1 と C 2 が共有点 P ( α,β ) を通る共通の接線をもつとき,以下の問いに答えよ.
(1) α=- 2⁢3 , β=0 となることを示せ.
(2) C1 , C2 および半直線 l :x=0 ( y<0 ) で囲まれた部分の面積を求めよ.
2017-11546-0109
【3】 数列 { an } を初項から順に群に分けると,第 m 群( m =1 ,2 , 3 ,⋯ )は,初項 1 , 公比 2 , 項数 m の等比数列となるとき,以下の問いに答えよ.
(1) ak= 1024 となる最小の k を求めよ.
(2) ∑n=1 la n<2000 となる最大の l を求めよ.