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2017 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【1】  n 0 以上の整数とする. xn= 2cos 2 n17 π のとき以下の問いに答えよ.

(1)  s=x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8 とするとき, x1 (s +1) =2s +2 となることを示せ.

(2)  t=x 1+x 2+x 4+x 8 とするとき, t2+ t-4= 0 となることを示せ.

(3)  x1 +x4 の値を求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【2】  1 辺の長さが 2 の正三角形を OAB とする. OAB の内接円を C 1 とする. 2 OA OB と円 C n-1 に接する円を C n として C n n=2 3 4 を定める.以下の問いに答えよ.

(1)  k を自然数とする. Ck の半径が C 1 の半径の 0.001 倍未満となる最小の k を求めよ.

(2)  Cn の面積を s n とするとき, n=1 sn の値を求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【3】  α を実数とする. O を原点とする座標空間内に 3 A (3 ,-3,-3 ) B (3 ,-1,3 ) C (α ,1,1 ) がある. A を通り m1 =(1 ,2,1 ) に平行な直線を l 1 とする. B を通り m2 =(- 1,1, 1) に平行な直線を l 2 とする.点 P l 1 上にあり,点 Q l 2 上にある. |PQ | が最小となるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  P Q の座標を求めよ.

(2)  OPQ の面積を求めよ.

(3)  3 O P Q の定める平面を π とする. C を通り π の法線ベクトルに平行な直線を l 3 とする. l3 π の交点を H とする. H OPQ の周上にあるとき, α の値をすべて求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【4】  x>0 で定義された微分可能な関数 f (x )

3x f( x)+ 3 1x f (t) dt=4 x3 +3 12 f( t) dt

によって定める.曲線 C y=f (x ) を考える.以下の問いに答えよ.

(1)  f( x) を求めよ.

(2)  g( x)= |x-1 | f( x) とおくとき, g( x) x =1 で微分可能でないことを示せ.

(3)  C と直線 l y=a との共有点の個数を, a の値によって分類せよ.

(4)  C 3 直線 y =0 x= 1 x= 2 で囲まれた部分を, x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

(1)〜(3)で配点80点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1)  P=x4 +9 x3-12 x2 +9x- 3 とする. x=-5 -27 のとき, P の値を求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

(1)〜(3)で配点80点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(2)  x y を自然数とするとき, 2x 2+x y-5x -y2 +y-30= 0 であるような組 ( x,y ) をすべて求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

(1)〜(3)で配点80点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(3) 実数 a に対し, f( θ)= cos2θ +6a sinθ+ 8a- 2 0θ π とする.方程式 f (θ )=0 が解をもつとき, a の値の範囲を求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】  α β を実数とする. xy 平面上に放物線 C 1y =- 13 x2 - 53 3 x- 6 と点 A ( 0,6 ) を中心とする円 C 2 がある. C1 C 2 が共有点 P ( α,β ) を通る共通の接線をもつとき,以下の問いに答えよ.

(1)  α=- 23 β=0 となることを示せ.

(2)  C1 C2 および半直線 l x=0 y<0 で囲まれた部分の面積を求めよ.

2017 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } を初項から順に群に分けると,第 m 群( m =1 2 3 )は,初項 1 公比 2 項数 m の等比数列となるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  ak= 1024 となる最小の k を求めよ.

(2)  n=1 la n<2000 となる最大の l を求めよ.

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