2017　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　駒が単位時間ごとに座標平面上を移動するものとする．$n$は$0$以上の整数とし，時刻$n$に点$(x,y)$にある駒は，時刻$n+1$には${\displaystyle \frac{1}{4}}$ずつの確率で，$4$点$(x+1,y)\text{，}(x-1,y)\text{，}(x,y+1)\text{，}(x,y-1)$のいずれかに移動するものとする．時刻$0$に点$(0,0)$にある駒について，次の問いに答えよ．

問１　時刻$2$に，駒が点$(0,0)\text{，}$点$(1,0)\text{，}$点$(1,1)\text{，}$点$(2,0)$にある確率を，それぞれ求めよ．

問２　時刻$4$に，駒が点$(0,0)$にある確率を求めよ．

問３　時刻$n$に駒が点$(x,y)$にあるとき，$n$と$x+y$の差は$2$の倍数であることを示せ．

【２】　$f(x)=2^{3x}+2^{-3x}-4(2^{2x}+2^{-2x})$とする．次の問いに答えよ．

問１　$k$を実数とする．$x$についての方程式$2^x+2^{-x}=k$の実数解の個数を求めよ．

問２　$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$で表せ．

問３　$x$がすべての実数を動くとき，$f(x)$が最小となるような$x$と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}$辺$\mathrm{BO}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とし，線分${\mathrm{AA}}^{\prime }$と${\mathrm{BB}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{BB}}^{\prime }$と${\mathrm{OO}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{OO}}^{\prime }$と${\mathrm{AA}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{{\mathrm{OO}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{OR}:{\mathrm{RO}}^{\prime }=6:1$となることを示せ．

問３　三角形$\mathrm{PQR}$の面積$M$を三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を用いて表せ．

【４】　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{A}$以外の点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{ABC}$へ垂線をおろし，その垂線と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{PA}=t$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　三角形$\mathrm{HBC}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．

問２　線分$\mathrm{PH}$の長さを$t$を用いて表せ．

問３　四面体$\mathrm{PHBC}$の体積$V$が最大となるような$t$と，そのときの$V$の値を求めよ．

【１】　半径$1$の円柱を，底面の直径を含み底面と角$\alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をなす平面で切ってできる小さい方の立体を考える．ただし，円柱の高さは$\tan \alpha$以上であるとする．次の問いに答えよ．

問１　この立体の体積$V$を求めよ．

問２　切り口の面積$A$を求めよ．

問３　この立体の側面積$B$を求めよ．

【２】　$t$を$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす実数とする．三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}$辺$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とし，線分${\mathrm{AA}}^{\prime }$と${\mathrm{BB}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{BB}}^{\prime }$と${\mathrm{OO}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{OO}}^{\prime }$と${\mathrm{AA}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{{\mathrm{OO}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{OR}:{\mathrm{RO}}^{\prime }$を$t$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{PQR}$の面積$M$を三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$と$t$を用いて表せ．

【３】　三角形があり，その頂点を反時計回りの順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$から出発し，$1$秒経過するごとに隣の頂点へ移動する．ただし，反時計回りに移動する確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$時計回りに移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．$n$を自然数とし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$を出発してから$n$秒経過したときに頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率を，それぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を用いて表せ．

問２　$a_{n+2}$を$c_n$を用いて表せ．

問３　$a_{n+6}$を$a_n$を用いて表せ．

問４　$0$以上の整数$k$に対して$a_{6k+1}$を求めよ．

【４】　座標平面上の$3$点$\mathrm{P}(x,y)\text{（}x>0\text{，}y>0\text{），}\mathrm{A}(a,0)\text{（}a>0\text{），}\mathrm{B}(0,b)\text{（}b>0\text{）}$は，$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=1$をみたすものとする．$\mathrm{O}$を原点とし，線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{BO}$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\angle \mathrm{APB}$を固定して$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を動かす．$S$が最大となるとき，$x=y$かつ$a=b$であることを示せ．

問２　$\angle \mathrm{APB}$を固定せず，条件$x=y$かつ$a=b$のもとで$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を動かす．このとき，$S$の最大値を求めよ．