2017　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　対数$\log$は自然対数，$e$はその底とする．$x\geqq 2$に対して，$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_2^x}{\displaystyle \frac{1}{\log t}}dt$

によって定める．次の問いに答えよ．

問１　$x>3$に対して，$g(x)=e^{4}f(e^{2x-4})-e^{2}f(e^{2x-2})$とするとき，導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　等式

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\log x}}+{\displaystyle {\int }_2^x}{\displaystyle \frac{1}{{(\log t)}^2}}dt-{\displaystyle \frac{2}{\log 2}}$

を示せ．

問３　$n$を正の整数とするとき，等式

$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{(k-1)!x}{{(\log x)}^k}}+n!{\displaystyle {\int }_2^x}{\displaystyle \frac{1}{{(\log t)}^{n+1}}}dt-2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{(k-1)!}{{(\log 2)}^k}}$

を示せ．ただし，$0!=1$と定める．

【２】　$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とおく．ただし，$i$は虚数単位である．次の問いに答えよ．

問１　$z^4+z^3+z^2+z+1=0$を示せ．

問２　$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$のとき，$w^2+w$の値を求めよ．

問３　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$の値を求めよ．

問４　単位円に内接する正五角形の面積を求めよ．

【３】　$e$は自然対数の底とし，$c$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

問１　方程式$x=c{e}^{-x}$は，$0<x<c$でただ一つの解をもつことを示せ．

問２　$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$に対して，不等式

$|e^{-a}-e^{-b}|\leqq |a-b|$

が成り立つことを示せ．

問３　問１の方程式の解を$\alpha$とし，数列$\{x_n\}$を，

$x_1=0\text{，}{x}_{n+1}=c{e}^{-x_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，不等式

$|x_{n+1}-\alpha |\leqq c|x_n-\alpha |$

が成り立つことを示せ．

問４　問３の数列$\{x_n\}$について，$0<c<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\alpha$を示せ．

【４】　$a>0\text{，}b>0$とし，$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,b)\text{，}\mathrm{C}(a,1,0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AO}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問３　平面$\alpha$上の点$\mathrm{D}(x,y,z)$から$xy$平面に下ろした垂線と$xy$平面との交点を$\mathrm{E}(x,y,0)$とする．平面$\alpha$上で点$\mathrm{B}$を中心とする半径$1$の円を考える．点$\mathrm{D}$がこの円上を動くとき，点$\mathrm{E}$が$xy$平面上で描く曲線の方程式を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

問４　問３で求めた曲線で囲まれた図形の面積を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

【５】　対数$\log$は自然対数とする．正の整数$n$と実数$a$に対して

$S_n(a)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a^k}{k}}$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$a<1$のとき，等式

${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{x^n}{x-1}}dx=S_n(a)+\log (1-a)$

を示せ．

問２　$0<a<1$のとき，不等式

$|S_n(a)-\log {\displaystyle \frac{1}{1-a}}|\leqq {\displaystyle \frac{a^{n+1}}{(n+1)(1-a)}}$

を示せ．

問３　$a<0$のとき，不等式

$|S_n(a)-\log {\displaystyle \frac{1}{1-a}}|\leqq {\displaystyle \frac{{(-a)}^{n+1}}{n+1}}$

を示せ．

【３】　$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

問１　$0\leqq a\leqq b$に対して，不等式

$a+e^{-a}\leqq b+e^{-b}$

が成り立つことを示せ．

問２　$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$に対して，不等式

$|e^{-a}-e^{-b}|\leqq |a-b|$

が成り立つことを示せ．

問３　数列$\{x_n\}$を，

$x_1=0\text{，}{x}_{n+1}={\displaystyle \frac{e^{-x_n}}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．また，方程式$x={\displaystyle \frac{e^{-x}}{2}}$の解を$\alpha$とする．このとき，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，不等式

$|x_{n+1}-\alpha |\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}|x_n-\alpha |$

が成り立つことを示せ．

問４　問３の数列$\{x_n\}$について，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，

$|x_n-\alpha |\leqq {\displaystyle \frac{\alpha }{2^{n-1}}}$

が成り立つことを示せ．