2017　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のようなゲームを行う．$\mathrm{A}$は$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入った袋から玉を$1$つ取り出し，それを$\mathrm{A}$の玉とする．一方$\mathrm{B}$は$1$から$6$までの自然数が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入った袋から玉を$1$つ取り出し，それを$\mathrm{B}$の玉とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の得点について以下の(a)，(b)，(c)の$3$つの場合を考える．

(a)　$\mathrm{A}$の得点は$\mathrm{A}$の玉に書かれた数，$\mathrm{B}$の得点は$\mathrm{B}$の玉に書かれた数とする．

(b)　$\mathrm{A}$の得点は$\mathrm{A}$の玉に書かれた数，$\mathrm{B}$の得点は$\mathrm{B}$の玉に書かれた数の$2$倍とする．

(c)　$\mathrm{B}$の玉に書かれた数が$3$以下のばあいには，$\mathrm{A}$の得点は$\mathrm{B}$の玉に書かれた数，$\mathrm{B}$の得点は$\mathrm{A}$の玉に書かれた数とする．$\mathrm{B}$の玉に書かれた数が$4$以上の場合には，$\mathrm{A}$の得点は$\mathrm{A}$の玉に書かれた数，$\mathrm{B}$の得点は$\mathrm{B}$の玉に書かれた数とする．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人のうち得点の大きい人を勝ちとし，$2$人の得点が同じ場合引き分けとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　(a)の場合に$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　(b)の場合に$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

(3)　(c)の場合に$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,2,-1)\text{，}$$\mathrm{B}(3,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(2,3,0)$の定める平面を$\alpha$とする．また，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{OAQ}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とし，点$\mathrm{P}$は次の式を満たすとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

点$\mathrm{P}$が$a+b+c=0$かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=1$を満たしながら動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の最大値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n$は自然数とする．不等式$a_n>\sqrt{6}$を証明せよ．

(2)　$n$は自然数とする．不等式$a_{n+1}-\sqrt{6}<{\displaystyle \frac{1}{4}}{(a_n-\sqrt{6})}^2$を証明せよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の収束，発散について調べ，極限があればその極限を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$n$は自然数とする．不等式$a_n>\sqrt{6}$を証明せよ．

(3)　$n$は自然数とする．不等式$a_n-\sqrt{6}<{\displaystyle \frac{1}{4}}{(a_n-\sqrt{6})}^2$を証明せよ．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．自然数$n$に対して，点${\mathrm{P}}_n(n,{\displaystyle \frac{1}{n}})$における曲線$C$の接線を$l_n$とする．また，$2$直線$l_n\text{，}{l}_{n+1}$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l_n$と$l_{n+1}$の交点を求めよ．

(2)　$S_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3{S}_n$を求めよ．ただし，必要があれば次の不等式を証明せずに用いてもよい．

$x>0$のとき$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4<\log (1+x)<x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3$

【４】　$p$を正の実数とする．放物線$y=p{x}^2$を$C_1\text{，}$放物線$y=-p{x}^2+2px+{\displaystyle \frac{1}{2p}}$を$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標を$a\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標を$b$としたとき，$a<b$である．また，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線は垂直であることを示せ．また，点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線も垂直であることを示せ．

(2)　$S$を$p$を用いて表せ．

(3)　$p$がすべての正の実数を動くとき，$p=\tan \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおくことにより，$S$の最小値を求めよ．