2017　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　三角形$\mathrm{BCD}$の面積$S_0$を求めよ．

(2)　正の実数$s$を$\mathrm{BQ}:\mathrm{BC}=s:1$で定めるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$および$s$を用いて表せ．

(3)　(2)の$s$を$t$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{DC}$が共有点をもたない$t$の範囲を求めよ．

(5)　$t$が(4)で求めた範囲にあるとき，四角形$\mathrm{PQCD}$の面積と三角形$\mathrm{ABP}$の面積が等しくなるときの$t$の値を求めよ．

（(1)，(2)，(3)，(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1\text{，}\sin (\pi xy-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\cos (\pi xy-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\geqq 1$

の表す領域を$D$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　$m$を$m\geqq 1$をみたす実数とする．点$(x,y)$が領域$D$上を動くとき，$mx+y$の最大値と最小値をそれぞれ$m$を用いて表せ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　$P_2(0)\text{，}{P}_2(1)\text{，}{P}_2(2)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$P_n(0)\text{，}{P}_n(1)\text{，}{P}_n(2)$のそれぞれを$P_{n-1}(1)$と$P_{n-1}(2)$を用いて表せ．

(3)　$P_n(0)\text{，}{P}_n(1)\text{，}{P}_n(2)$をそれぞれ求めよ．

（(1)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+2x^2}}}$

に対して，その逆関数を$f^{-1}(x)$と表す．曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$y=f^{-1}(x)$を$C_2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$y=f(x)$の値域を求めよ．

(2)　$f^{-1}(x)$を求めよ．また，$C_1$と$C_2$の交点をすべて求めよ．

(3)　変数変換$x=\alpha \tan \theta$を用いて，定積分$J={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}{\displaystyle \frac{dx}{x^2+{\alpha }^2}}$を求めよ．ただし，$\alpha$は正の定数とする．

(4)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$の$x\geqq 0$の部分で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）