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2017-11613-0301
2017 兵庫県立大学 中期理学部
易□ 並□ 難□
【1】 四角形 ABCD は円に内接し,それぞれの辺の長さは AB =2 ,BC= 3 ,CD =3 ,DA =4 であるとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 対角線 AC の長さを求めよ.
(2) 四角形 ABCD の面積を求めよ.
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【2】 不等式 log| x| ⁡( x-9⁢ y2+ 2)> 2 の表す領域を x y 平面上に図示せよ.
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【3】 関数 f ⁡(x )=x ⁢e- x について,次の問いに答えよ.
(1) 関数 y =f⁡( x) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.ただし limx→ ∞x ⁢e- x=0 を使ってよい.
(2) 曲線 y =f⁡( x) , 直線 y =e- 1 および y 軸とで囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ.
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【4】 不等式
(x 2+4 ⁢y+6 )⁢ (x2 +y2 -2⁢x + 78 )≦0
の表す領域を D とする.点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くとき,次の問いに答えよ.
(1) 領域 D を x y 平面上に図示せよ.
(2) k=x+ y とおくとき, k のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) x3 +y3 +3⁢ x2⁢ y+3⁢ x⁢y2 -x-y +2 の最大値を求めよ.
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【5】 1 個のさいころをくり返し投げ, k 回目に出た目を a k とし,自然数 n に対して
Xn= ∑ k=1 n ak10 k= 0.a1 a2⋯ an
とする.また, Xn≦ 25 99 となる確率を P ⁡(n ) とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) P⁡( 1) ,P ⁡(2 ) および P ⁡(4 ) を求めよ.
(2) 自然数 m に対して P ⁡(2 ⁢m+2 ) を P ⁡(2 ⁢m ) で表し, P⁡( 2⁢m ) を求めよ.
(3) limn →∞ P⁡( n) を求めよ.