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2017-11621-0201
2017 奈良県立医科大学 後期医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡( x) は実数全体で定義された連続関数であり,すべての実数 x に対して以下の関係式を満たすとする.
∫ 0x et⁢f ⁡(x -t) ⁢dt= f⁡( x)- ex.
関数 f ⁡(x ) を求めよ.
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【2】 S を a +b⁢ 2 (但し a , b は整数)の形に表される数すべての集合とする. S に属する任意の数 z =a+b⁢ 2 (但し a , b は整数)に対して, N⁡( z)= a2- 2⁢b2 とおく.
(1) S に属する任意の数 z , w に対して, z+w∈ S ,z⁢ w∈S かつ N ⁡(z ⁢w) =N⁡( z)⁢ N⁡( w) が成り立つことを証明せよ.
(2) S に属する零でない数 z =x+y ⁢2 ( x , y は整数)の逆数 z -1 が S に属するための必要十分条件は, x2 -2⁢y 2=1 , -1 であることを証明せよ.
(3) 1<z <1+ 2 を満たすような S の数 z で,その逆数 z -1 も S に属するものは存在しないことを証明せよ.
(4) S に属する零でない数 z で,その逆数 z -1 も S に属するものはすべて (1 +2 )n ,- (1 +2 )n ( n は整数)によって与えられることを証明せよ.
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【3】 n を 3 以上の整数とする半径 r ( > 0 )の円 C に内接する正 n 角形の n 個の頂点を反時計回りの順に P0 , P 1 ,⋯ , Pn -1 とおく.点 Q が円 C の周上を動くとき, n 個の線分 QP0 ,QP 1 ,⋯ , QPn -1 の長さの積 L ⁡( Q ) が最大となるような点 Q の位置,及び L ⁡( Q ) の最大値を求めよ.
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新課程用
【4】 a0 , a1 , a2 , ⋯ ,a n ,⋯ を実数の数列とする.ある正整数 p が存在し,
|m- n|≦ p
を満たす零以上のすべての整数 m , n に対して,不等式 | am- an| <1 が成り立つとする.このとき,ある正の実数 α , β が存在し,零以上の任意の整数 n に対して不等式
|a n| <α⁢ n+β
が成り立つことを証明せよ.