2017 奈良県立医科大学 後期医学科MathJax

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2017 奈良県立医科大学 後期医学部

医学科

易□ 並□ 難□

【1】  f( x) は実数全体で定義された連続関数であり,すべての実数 x に対して以下の関係式を満たすとする.

0x etf (x -t) dt= f( x)- ex

関数 f (x ) を求めよ.

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【2】  S a +b 2 (但し a b は整数)の形に表される数すべての集合とする. S に属する任意の数 z =a+b 2 (但し a b は整数)に対して, N( z)= a2- 2b2 とおく.

(1)  S に属する任意の数 z w に対して, z+w S z wS かつ N (z w) =N( z) N( w) が成り立つことを証明せよ.

(2)  S に属する零でない数 z =x+y 2 x y は整数)の逆数 z -1 S に属するための必要十分条件は, x2 -2y 2=1 -1 であることを証明せよ.

(3)  1<z <1+ 2 を満たすような S の数 z で,その逆数 z -1 S に属するものは存在しないことを証明せよ.

(4)  S に属する零でない数 z で,その逆数 z -1 S に属するものはすべて (1 +2 )n - (1 +2 )n n は整数)によって与えられることを証明せよ.

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【3】  n 3 以上の整数とする半径 r > 0 )の円 C に内接する正 n 角形の n 個の頂点を反時計回りの順に P0 P 1 Pn -1 とおく.点 Q が円 C の周上を動くとき, n 個の線分 QP0 QP 1 QPn -1 の長さの積 L ( Q ) が最大となるような点 Q の位置,及び L ( Q ) の最大値を求めよ.

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新課程用

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【4】  a0 a1 a2 a n を実数の数列とする.ある正整数 p が存在し,

|m- n| p

を満たす零以上のすべての整数 m n に対して,不等式 | am- an| <1 が成り立つとする.このとき,ある正の実数 α β が存在し,零以上の任意の整数 n に対して不等式

|a n| <α n+β

が成り立つことを証明せよ.

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