2017　奈良県立医科大学　推薦医学科MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　実数全体で定義された$x$の関数

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$

と正の実数$a$を含む関数

$g(x)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{a}}\log (e^{ax}+e^{-ax})$

を考える．

(1)　$f^{\prime }(x)$が取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<f^{\prime }(x)\leqq \boxed{\text{イ}}$で，$f(x)$が取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}<f(x)<\boxed{\text{エ}}\text{．}$

(2)　$g^{\prime }(x)$を$f$と$a$と$x$を用いて書くと$g^{\prime }(x)=2x-\boxed{\text{オ}}\text{．}$また，$0<a<\boxed{\text{カ}}$のとき，$g(x)$が極小となる点の個数は$\boxed{\text{キ}}\text{．}a>\boxed{\text{カ}}$のとき，$g(x)$が極小となる点の個数は$\boxed{\text{ク}}\text{．}$

【２】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　条件

$a_0=p\text{，}{a}_1=q\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+2a_n\text{（}n\geqq 0\text{）}$

によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．ただし，$p\text{，}q$は$p^2+q^2\ne 0$なる実数である．この数列の一般項は$a_n=\boxed{\text{ア}}\text{（}n\geqq 0\text{）}$と書ける．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2n}}\log ({a_n}^2+1)=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{イ}}& \text{（}\boxed{\text{エ}}\ne 0\text{の場合）}\\ \boxed{\text{ウ}}& \text{（}\boxed{\text{エ}}=0\text{の場合）}\end{array}$

となる．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　方程式

$5x^4-12x^3+30x^2-12x+5=0$

は$1+2i$を解としてもつ．ただし，$i$は虚数単位とする．その他$3$個の解を$a+bi$（$a\text{，}b$は実数）の形で求めよ．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　はじめに黒石を$4$個と白石を$4$個用意する．次に袋を$4$つ用意し，それぞれの袋に黒石白石の区別なしに石を$2$個ずつ入れ，すべての袋を大きな箱に入れる．以下の操作$\mathrm{T}$を考える．

操作$\mathrm{T}$：箱の中から袋を$2$つ取り出し，それらの袋の中の石を一旦片方の袋にすべて集める．石を十分に混ぜた後，石を$2$個取り出し，他方の袋に入れる．

操作$\mathrm{T}$によって，黒石と白石が$1$個ずつ入っている袋の数$N$は，変動しないか，$2$増減する可能性がある．$N$は$0\text{，}2\text{，}4$のいずれかで，その変化する様子は以下の通りである．

・$N=0$の状態に操作$\mathrm{T}$を施した後，$N=2$になる確率は$\boxed{\text{ア}}\text{．}$

・$N=2$の状態に操作$\mathrm{T}$を施した後，$N=0$になる確率は$\boxed{\text{イ}}$で$N=4$になる確率は$\boxed{\text{ウ}}\text{．}$

・$N=4$の状態に操作$\mathrm{T}$を施した後，$N=2$になる確率は$\boxed{\text{エ}}\text{．}$

【５】　以下の問いに答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　全体集合$\mathrm{U}$は有限個の要素からなる．また，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を$\mathrm{U}$の部分集合とする．これら集合の要素の個数について，次のことが分かっている．

$\{\begin{array}{l}\mathrm{A}\text{に含まれない要素の個数は}51\text{．}\\ \mathrm{B}\text{に含まれない要素の個数は}36\text{．}\\ \mathrm{C}\text{に含まれない要素の個数は}55\text{．}\\ \mathrm{A}\text{または}\mathrm{B}\text{に含まれる要素の個数は}54\text{．}\\ \mathrm{B}\text{または}\mathrm{C}\text{に含まれる要素の個数は}49\text{．}\\ \mathrm{B}\text{に含まれるが，}\mathrm{A}\text{にも}\mathrm{C}\text{にも含まれない要素の個数は}23\text{．}\\ \mathrm{A}\text{にも}\mathrm{C}\text{にも含まれる要素の個数は}0\text{．}\end{array}$

このとき，$\mathrm{U}$の要素の個数を求めよ．

【６】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．ただし，(ア)と(ソ)には数学用語を入れよ．また，(イ)と(ウ)には本文中にある$\theta$を使ってはならない．(サ)には$2$個の適切な数式を入れよ．

　空間内に相異なる定点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を取り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$で表す．$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$は互いに平行ではないとする．$\theta$を実数全体を動く媒介変数として，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\cos \theta \overrightarrow{p}+\sin \theta \overrightarrow{q}$

を考える．以下では$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と表す．まず，この動点$\mathrm{R}$の軌跡は$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で定まる平面内の曲線である．さらに，$\theta$の値が$2\pi$だけ変化すると，動点$\mathrm{R}$は元の位置に戻ってくる．したがって，$\overrightarrow{r}$の長さ$\left|\overrightarrow{r}\right|$には最大値と最小値が存在する．もし最大値と最小値が一致するなら，この曲線は$\boxed{\text{ア}}$になる．以下では最大値と最小値が一致しない場合を考える．$\overrightarrow{r}$の長さの平方を計算するにあたって，まず定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を次のように定める．

$a={\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2\text{，}$$b=2\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}\text{，}$$c={\left|\overrightarrow{p}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2\text{．}$

ここで，もし$a=b=0$ならば$\left|\overrightarrow{r}\right|$は一定となり，最大値と最小値が一致しないという仮定に反するので，今の場合$a^2+b^2\ne 0$であることがわかる．そこで定数$\alpha$を次のように定める．

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\text{，}$$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

これらの定数と媒介変数$\theta$とを用いて，${\left|\overrightarrow{r}\right|}^2$を表すと，${\left|\overrightarrow{r}\right|}^2=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}\sin (\boxed{\text{エ}})\text{．}$したがって一般的に，$\left|\overrightarrow{r}\right|$が最大値をとるのは$\theta =\boxed{\text{オ}}+n\pi$（$n$は整数）のときであり，最小値をとるのは$\theta =\boxed{\text{カ}}+n\pi$（$n$は整数）のときである．$\theta$の値が$2\pi$だけ変化するあいだに，$\left|\overrightarrow{r}\right|$が最大値，最小値をとるのは，それぞれ$2$度あるが，$\left|\overrightarrow{r}\right|$が最大となるときの$\overrightarrow{r}$の一方を$\overrightarrow{A}\text{，}$また$\left|\overrightarrow{r}\right|$が最小となるときの$\overrightarrow{r}$の一方を$\overrightarrow{B}$で表すと，たとえば，$\overrightarrow{A}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{p}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{B}=\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{p}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{q}\text{．}$$\left|\overrightarrow{r}\right|$が最大，最小となる他方のベクトル$\overrightarrow{r}$は，$\overrightarrow{A}\text{，}\overrightarrow{B}$を使ってそれぞれ$\boxed{\text{サ}}$のように表される．ここで$\overrightarrow{A}\text{，}\overrightarrow{B}$の内積を計算すると，$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\boxed{\text{シ}}\text{．}\theta$の代わりに新たな媒介変数$\varphi$を$\varphi =\theta +k$（$k$は定数）の形で導入して$\varphi =0$のとき$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{A}$となるように$k$を定めると，$\overrightarrow{r}$は媒介変数$\varphi$を使って$\overrightarrow{r}=\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{A}+\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{B}$と表せる．曲線の形は媒介変数のとり方によらないので，この式の形から問題の曲線は$\boxed{\text{ソ}}$であることが分かる．