2017　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$0<y<x\text{，}2{\log }_5(x-y)={\log }_{5}x+{\log }_{5}y$のとき，${\displaystyle \frac{x}{y}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$\left|\overrightarrow{OA}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$100$から$999$までの整数のうちで，各位の数字が$2$つ以上同じである整数の個数を求めよ．ただし，各位の数字が$2$つ以上同じである整数とは$383$や$777$のようなもののことである．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の不等式を解け．

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =-1$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$2$乗して$3-4i$となる複素数$x+yi$（$x\text{，}y$は実数）をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$xy-2x+3y=0$を満たす整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$はいくつあるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$2^{2017}+3^{2017}+5^{2017}+7^{2017}$の$1$の位の数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$x$を超える最小の整数を$⟨x⟩$で表す．例えば，$⟨3.14⟩=4$である．このとき，等式$2x=⟨x⟩$を満たす$x$の値を求めよ．

【２】　正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．時刻$t=0$において点$\mathrm{A}$にある動点$\mathrm{P}$は$1$秒ごとに隣り合う$3$つの頂点のうちの$1$つに等しい確率で移動するものとする．自然数$n$に対して，時刻$t=n$において点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$として次の各問に答えよ．

(1)　時刻$t=1$において点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にある確率$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1\text{，}{s}_1$をそれぞれ求めよ．

(2)　時刻$t=n\text{（}n\geqq 2\text{）}$において点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$にあるとする．時刻$t=n-1$において点$\mathrm{P}$がいた可能性がある点をすべて求めよ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}\text{，}{r}_{n-1}\text{，}{s}_{n-1}$を用いて表せ．

(4)　$n\geqq 2$のとき，$p_{n-1}+q_{n-1}+r_{n-1}+s_{n-1}$の値を答えた上で，$p_n$を$p_{n-1}$で表せ．

(5)　$p_n$を$n$の式で表せ．

(6)　$q_n=r_n=s_n$であることを用いて，$q_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$を$n$の式で表せ．

(7)　$|p_n-q_n|<{10}^{-6}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$0.47<{\log }_{10}3<0.48$であることを用いてよい．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\text{，}{C}_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-x+2$に対し，次の各問に答えよ．

(1)　$C_1$上の点$(a,{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-1)$を通る$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$C_1$の接線のうち，傾きが正であるものを$l$とする．$l$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(4)　(3)の直線$l$と$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　曲線$y=(x^2-7)e^x$の変曲点を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　複素数$z=\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$に対して$z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\displaystyle \frac{t^2}{1+e^t}}dt$を$x$の式で表せ．

【２】　正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．動点$\mathrm{P}$は初め頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに隣り合う$3$つの頂点のうちの$1$つに等しい確率で移動するものとする．自然数$n$に対して，$n$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$として，次の各問に答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1\text{，}{s}_1$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}\text{，}{r}_{n-1}\text{，}{s}_{n-1}$を用いて表せ．さらに，$p_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$q_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$を$n$の式で表せ．

(4)　不等式$|p_n-q_n|<{10}^{-6}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$0.47<{\log }_{10}3<0.48$であることを用いてよい．

【３】　関数$f(x)=x\sin x$について次の各問に答えよ．

(1)　導関数の定義に従って，$f(x)=x\sin x$の導関数を求めよ．なお，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$が成り立つことを用いてよい．

(2)　曲線$C\text{：}y=x\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$上の点で，$0<x<\pi$の範囲にある点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$で引いた接線$l$が原点を通るような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の曲線$C$と接線$l$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．