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2017-11831-0201
2017 高知工科大学 後期
経済・マネジメント学群
易□ 並□ 難□
【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.
(1) 3 次方程式 x3+ x2+2 ⁢x-4 =0 を複素数の範囲で解け.
2017-11831-0202
(2) 次の連立方程式を実数の範囲で解け.
{ x=y 2y =-x2
2017-11831-0203
経済・マネジメント,システム工,環境理工,情報学群共通
システム工,環境理工,情報学群は(1)
(3) 4 人でじゃんけんをしたとき,あいこになる確率を求めよ.ただし,あいことは誰も勝たないこととする.
2017-11831-0204
(4) 命題「 x , y がともに無理数ならば, x+y , x⁢y の少なくとも一方は無理数である」は偽である.反例をあげよ.
2017-11831-0205
経済・マネジメント,システム工,環境理工,情報学群学群共通
システム工,環境理工,情報学群は(2)
(5) 4x+ 4-x =7 のとき 8x- 8-x の値を求めよ.
2017-11831-0206
システム工,環境理工,情報学群は(3)
(6) x の方程式 sin ⁡5⁢x +sin⁡x =0 (0< x< π2 ) を解け.
2017-11831-0207
システム工,環境理工,情報学群は(4)
(7) 12 -22 +32 -42 +⋯+ (2 ⁢n-1 )2 -( 2⁢n )2 を求めよ.
2017-11831-0208
経済・マネジメントシステム工,環境理工,情報学群共通
システム工,環境理工,情報学群は(5)
(8) 平行四辺形 ABCD があり,辺 CD 上に点 E を CE :ED=1 :2 を満たすようにとり,辺 AD 上に点 F を AF =FD を満たすようにとる. AE ,BF の交点を P ,AB →= b→ , AD→ =d→ として, AP→ を b→ , d→ を用いて表せ.
2017-11831-0209
システム工,環境理工,情報学群【2】の類題
【2】 t を正の実数とし, xy 平面上に 2 点 A ( 0,1 ), B (t ,0 ) をとる.次の各問に答えよ.
(1) 直線 AB の方程式を求めよ.
(2) 原点を中心とし,直線 AB に接する円を C t とする.円 C t と直線 AB の接点 P の座標を求めよ.
(3) (2)の円 C t の方程式を求めよ.
(4) t が t >0 の範囲を動くとき,(2)で求めた接点 P の軌跡を求めよ.
2017-11831-0210
【3】 a を実数とする.放物線 C :y= x2-2 ⁢a⁢x +2⁢a について,次の各問に答えよ.
(1) t を定数とするとき, C の x =t の点における接線の方程式を求めよ.
(2) 原点から C に 2 本の接線 l1 ,l2 が引けるような a の値の範囲を求めよ.
(3) a が(2)で求めた範囲にあるとき, l1 と l 2 が垂直に交わるような a の値を求めよ.
(4) 放物線 C の頂点の y 座標が最大になるときの a の値を求めよ.
(5) a が(4)の値をとるとき,原点から C へ引いた接線のうち傾きが正であるものと曲線 C および y 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2017-11831-0211
システム工,環境理工,情報学群
(6) i を虚数単位とする. ( 3-i )8 を求めよ.
2017-11831-0212
(7) 関数 f ⁡(x ) は導関数 f′ ⁡(x ) が存在して f′ ⁡(x )= 1 1+x2 であるとする.
合成関数 f ⁡( x 1-x2 ) の導関数を求めよ.
2017-11831-0213
(8) ∫ 0π sin4⁡ x⁢dx の値を求めよ.
2017-11831-0214
経済・マネジメント学群【2】の類題
(4) t が 13 ≦t≦ 3 の範囲を動くとき,(2)で求めた接点 P が描く曲線の長さを求めよ.
(5) t が t >0 の範囲を動くとき,(2)で求めた接点 P の軌跡を求めよ.
2017-11831-0215
【3】 曲線 Cn: y=log⁡ x n2 に原点から引いた接線を l n とし, Cn と l n の接点を An とする.次の各問に答えよ.ただし, n は自然数とする.
(1) ln の方程式と An の座標を求めよ.
(2) ln , Cn および x 軸で囲まれる図形の面積 S n を求めよ.
(3) (2)の S n について ∑n =1∞ 1 Sn が 4e-2 を超えないことを証明せよ.