2017　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$3$次方程式$x^3+x^2+2x-4=0$を複素数の範囲で解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　次の連立方程式を実数の範囲で解け．

$\{\begin{array}{l}x=y^2\\ y=-x^2\end{array}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$4$人でじゃんけんをしたとき，あいこになる確率を求めよ．ただし，あいことは誰も勝たないこととする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　命題「$x\text{，}y$がともに無理数ならば，$x+y\text{，}xy$の少なくとも一方は無理数である」は偽である．反例をあげよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$4^x+4^{-x}=7$のとき$8^x-8^{-x}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$x$の方程式$\sin 5x+\sin x=0(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +{(2n-1)}^2-{(2n)}^2$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$があり，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:2$を満たすようにとり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{F}$を$\mathrm{AF}=\mathrm{FD}$を満たすようにとる．$\mathrm{AE}\text{，}\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$として，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

【２】　$t$を正の実数とし，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(t,0)$をとる．次の各問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．

(2)　原点を中心とし，直線$\mathrm{AB}$に接する円を$C_t$とする．円$C_t$と直線$\mathrm{AB}$の接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の円$C_t$の方程式を求めよ．

(4)　$t$が$t>0$の範囲を動くとき，(2)で求めた接点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．放物線$C\text{：}y=x^2-2ax+2a$について，次の各問に答えよ．

(1)　$t$を定数とするとき，$C$の$x=t$の点における接線の方程式を求めよ．

(2)　原点から$C$に$2$本の接線$l_1\text{，}{l}_2$が引けるような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとき，$l_1$と$l_2$が垂直に交わるような$a$の値を求めよ．

(4)　放物線$C$の頂点の$y$座標が最大になるときの$a$の値を求めよ．

(5)　$a$が(4)の値をとるとき，原点から$C$へ引いた接線のうち傾きが正であるものと曲線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$i$を虚数単位とする．${(\sqrt{3}-i)}^8$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　関数$f(x)$は導関数$f^{\prime }(x)$が存在して$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$であるとする．

　合成関数$f\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\right)$の導関数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{4}xdx$の値を求めよ．

【２】　$t$を正の実数とし，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(t,0)$をとる．次の各問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．

(2)　原点を中心とし，直線$\mathrm{AB}$に接する円を$C_t$とする．円$C_t$と直線$\mathrm{AB}$の接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の円$C_t$の方程式を求めよ．

(4)　$t$が${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\leqq t\leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，(2)で求めた接点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．

(5)　$t$が$t>0$の範囲を動くとき，(2)で求めた接点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　曲線$C_n\text{：}y=\log {\displaystyle \frac{x}{n^2}}$に原点から引いた接線を$l_n$とし，$C_n$と$l_n$の接点を${\mathrm{A}}_n$とする．次の各問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$l_n$の方程式と${\mathrm{A}}_n$の座標を求めよ．

(2)　$l_n\text{，}{C}_n$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．

(3)　(2)の$S_n$について${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{S_n}}$が${\displaystyle \frac{4}{e-2}}$を超えないことを証明せよ．