2017　長崎県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記入しなさい．

問１　実数$x\text{，}y$が$x+y=5\text{，}{x}^2+y^2=11$を満たすとする．

(ⅰ)　$xy$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$x^3+y^3$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記入しなさい．

問２　$7$個の文字 $\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$を考える．

(ⅰ)　$7$個の文字を横$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$文字が続いて並ぶような並べ方の総数を求めなさい．ただし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の順序は問わない．

(ⅱ)　$7$個の文字を横$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のどの$2$文字も隣り合わないような並べ方の総数を求めなさい．

(ⅲ)　$7$個の文字を円形に並べるとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のどの$2$文字も隣りあわないような並べ方の総数を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記入しなさい．

問３　$10$進法において，$6^{100}$について考える．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．

(ⅰ)　$6^{100}$の桁数を求めなさい．

(ⅱ)　$6^{100}$の最高位の数を求めなさい．

【２】　関数$f(x)$は$f^{\prime }(x)=3x^2-2\text{，}f(1)=0$を満たすとし，この関数$y=f(x)$のグラフを$G$とする．また，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,a)$（$a$は実数の定数）とする．次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記しなさい．

(1)　$f(x)$を求めなさい．

(2)　$G$上の点$\mathrm{B}(t,f(t))$における$G$の接線の方程式を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{A}$を通り$G$に接する直線が$3$本引けるような$a$の値の範囲を求めなさい．

(4)　$a=0$とする．点$\mathrm{A}$における$G$の接線と$G$とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　当たりくじが$5$本，はずれくじが$10$本，合計$15$本のくじが袋の中に入っている．この袋から順にくじを$1$本ずつ引く．このとき，はずれくじを引いた場合はくじを袋に戻すが，当たりくじを引いた場合はくじを袋に戻さないものとする．次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記しなさい．

(1)　$1$本目が当たりである確率を求めなさい．また，$1$本目と$2$本目がともに当たりである確率を求めなさい．

(2)　$2$本目が当たりである確率を求めなさい．また，$1$本目と$2$本目のうち少なくともどちらかが当たりである確率を求めなさい．

(3)　$2$本目と$3$本目がともに当たりである確率を求めなさい．

(4)　$2$本目が当たりであったとき，$1$本目も当たりであった条件付き確率を求めなさい．また，$2$本目が当たりであったとき，$3$本目も当たりである条件付き確率を求めなさい．

【４】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}{3}^{2n-1}{a}_n{a}_{n+1}={(3^{n-1}{a}_n)}^2+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されている．次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記しなさい．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$をそれぞれ求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を予想し，その予想が正しいことを数学的帰納法により証明しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めなさい．

【５】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OB}\perp \mathrm{AB}$とする．$\angle \mathrm{AOB}$の二等辺三角形と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{OC}$上に$\mathrm{OC}\perp \mathrm{AD}$を満たす点$\mathrm{D}$をとる．次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記入しなさい．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表しなさい．

(3)　四角形$\mathrm{OADB}$の面積を求めなさい．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1+\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

について，曲線$y=f(x)$を$C$とおく．次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記しなさい．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めなさい．また，極値をとるときの$x$の値を求めなさい．

(2)　曲線$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とおく．$C$の点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めなさい．また，この接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積$M$を求めなさい．

(3)　$t$を$t>1$を満たす定数とするとき，$C$と$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積

$S(t)={\displaystyle {\int }_{e^{-1}}^t}f(x)dx$

を求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(4)　(2)の$M\text{，}$(3)の$S(t)$について，$S(t)=4M$を満たす$t$の値を求めなさい．