2017　東北学院大学　前期分割文，経済，教養学部2月3日MathJax

【１】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BD}=1+\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AD}=\sqrt{2}\text{，}\angle \mathrm{BDC}=60\mathrm{°}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{ABD}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{ADB}=\beta$とするとき，$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

(ⅱ)　円$O$の半径$R$を求めよ．

(ⅲ)　辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(ⅳ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

【２】　命題「$|x-1|<2$ならば$x^2-2x-3\leqq 0$である」の逆および対偶を述べ，それらが真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

【３】　$2$点$(0,1)\text{，}(a,0)$を通る直線を$l\text{，}2$点$(1,0)\text{，}(0,b)$を通る直線を$m$とする．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b$は$1$より大きい定数である．

(ⅰ)　$2$直線$l\text{，}m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$2$直線$l\text{，}m$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　$3$点$(1,1)\text{，}(a,b)\text{，}\mathrm{P}$は，同一直線上にあることを示せ．

【４】　次の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位，$\omega$は$x^3=1$の解のうち虚数であるものの$1$つである．

(ⅰ)　${(-i)}^{2017}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{i}{i+{\displaystyle \frac{i}{i+{\displaystyle \frac{i}{i+1}}}}}}$

(ⅲ)　${\omega }^{-10}+{\omega }^{10}$

【５】　$1$個のさいころを投げて次のような方法で得点を決めることにする．さいころを$1$回投げて$3$以上の目が出れば出た目の数を得点とし，$2$以下の目が出ればさらにもう$1$回投げて$2$回目に出た目の数を得点とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　得点が$5$である確率を求めよ．

(ⅱ)　得点が$5$であるとき，さいころを$2$回投げていた確率を求めよ，

【６】　空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,6)$がある．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BC}\perp \mathrm{OQ}$を満たすとき，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．