2017　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月7日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\sqrt{15}+1$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とし，$a-b$の整数部分を$c\text{，}$小数部分を$d$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$b$と$d$の大小を比較せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$のとき，$x+y$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x\text{，}p\text{，}q$を実数とするとき，$(x-p)(x-q)<0$ならば$x$は$p$と$q$の間の数であることを示せ．ただし，$p$と$q$の間の数には$p$と$q$は含まないものとする．

(ⅱ)　$a\text{，}b$を正の有理数とするとき，$\sqrt{5}$は${\displaystyle \frac{b}{a}}$と${\displaystyle \frac{5a+b}{a+b}}$の間の数であることを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式${\log }_{2}x-{\log }_{x}4=1$を解け．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　関数$y=2{\log }_{2}x+{\log }_2(6-x)$の最大値を求めよ．

【４】　$3$点$\mathrm{P}(1,5)\text{，}\mathrm{Q}(2,3)\text{，}\mathrm{R}(0,3)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\angle \mathrm{PQR}=\theta \text{（}0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}\text{）}$とする．

(ⅰ)　$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値を求めよ．

(ⅲ)　$\angle \mathrm{PQR}$を二等分する直線の方程式を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$3^{12}-1$を$3^8-1$で割ったときの商と余りを求めよ．

(ⅱ)　$3^{12}-1$と$3^8-1$の最大公約数を求めよ．

【６】　$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}=3a_n-2^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$b_1\text{，}{b}_2$の値を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．