2017　東北学院大学　後期工学部3月7日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式${\log }_{10}(2x-3)+{\log }_{10}(x-1)<0$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　方程式$\cos 3\theta +\cos \theta =0$を満たすとき$\theta =\boxed{\text{(イ)}}$である．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +1\text{，}\beta +1$が$2$次方程式$x^2+qx+p^2+2q=0$の$2$つの解になるという．このとき$(p,q)=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【２】　次の群数列

${\displaystyle \frac{2}{3}}|{\displaystyle \frac{2}{9}},{\displaystyle \frac{4}{9}}|{\displaystyle \frac{2}{27}},{\displaystyle \frac{4}{27}},{\displaystyle \frac{8}{27}}|{\displaystyle \frac{2}{81}},{\displaystyle \frac{4}{81}},{\displaystyle \frac{8}{81}},{\displaystyle \frac{16}{81}}|\cdots$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　第$5$群末項を答えよ．

(ⅱ)　第$n$群の項の和を$n$で表せ．

(ⅲ)　第$1$群初項から第$n$群末項までの和を$n$で表せ．

【３】　放物線$y=x^2-4x+5$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　傾きが正で，原点を通る接線の方程式と接点の座標$(x_1,y_1)$を求めよ．

(ⅱ)　放物線および(ⅰ)で求めた接線と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(ⅲ)　$x_1<x_2$とする．放物線および(ⅰ)で求めた接線と$x=x_2$で囲まれた部分の面積が$S$に等しくなるような$x_2$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=1-ax{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\sin tdt\text{（}a>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\sin tdt$を$a$の式で表せ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸の交点の$x$座標を$b$とする．$b$の動く範囲を求めよ．

(ⅲ)　関数$g(x)=f(x)\sin x$が$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で極値を取るときの$a$の値を求めよ．