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2017-13331-0101
2017 学習院大学 文学部
(1),(2)で25点
2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 この問題については,解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと.
(1) 条件
a1 =3 ,a n+1 =5⁢ an+ 3 ( n=1 , 2 ,⋯ )
によって定められる数列 { an } の一般項を求めよ.
2017-13331-0102
(2) 平面上に
AB=2 ⁢5 , BC= 5 ,AC =3
をみたす三角形 ABC がある.辺 BC を 2 :3 に内分する点を P とするとき,線分 AP の長さを求めよ.
2017-13331-0103
25点
【2】 a を実数として, 4 次方程式
(*) x4 -5⁢a ⁢x2 + (a+ 5) 2=0
を考える.
(1) (*)が相異なる 4 個の実数解をもつような a の範囲を求めよ.
(2) a は(1)で求めた範囲にあるとする.(*)の 4 個の解が等差数列をなすような a の値を求めよ.
この問題については,答えだけではなく,答えを導く過程も書くこと.
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【3】 さいころを 4 回投げて,出た目を順に a , b ,c , d とする.
(1) 数 1 , 2 ,3 のそれぞれが a , b ,c , d の中に少なくとも 1 回は現れる確率を求めよ.
(2) 積 a ⁢b⁢c ⁢d が 60 となる確率を求めよ.
この問題については,解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと.また,答えが分数になる場合は,既約分数で答えよ.
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【4】 正の実数 t に対して,放物線 C :y= 1 2⁢ x2 上の点 P ( t, 1 2⁢ t 2) を通り, P における C の接線と直交する直線を l とする.さらに, C と l の交点で P 以外のものを Q とし,線分 PQ の中点を M とする.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) M の座標を求めよ.
(3) t が正の実数全体を動くとき, M の y 座標の最小値と,最小値を与える t の値を求めよ.