2017　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(31)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

(1)　$x$と$y$は方程式

${\log }_{2}7+{\log }_{\frac{1}{2}}(y+5)=2-{\log }_2(x+2)$

を満たす．

(ⅰ)　$y=3$のとき，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}}}$である．

(ⅱ)　$x$と$y$が整数で，不等式$1000<2^{y-x}<5000$を満たすとき，$x=\boxed{\text{(4)(5)}}\text{，}y=\boxed{\text{(6)(7)}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(31)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

(2)　$xy$平面上に円$O\text{：}{x}^2+y^2=9$と円$C\text{：}{(x-5\sqrt{2})}^2+y^2=4\text{，}$点$(a,a)$を中心とする円$P$がある．円$O$は円$P$に内接し，円$C$は円$P$に外接する．また，円$O$と円$C$の共通接線のうち，$2$つの接点の$y$座標がいずれも負となるものを接線$l$とする．ただし，$a$は$a>0$とする．このとき，

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(8)}}\sqrt{\boxed{\text{(9)}}}}{\boxed{\text{(10)}}}}$である．

(ⅱ)　接線$l$の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(11)}}}{\boxed{\text{(12)}}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)(14)}}\sqrt{\boxed{\text{(15)}}}}{\boxed{\text{(16)}}}}$であり，接線$l$が円$P$によって切り取られる線分の長さは$\boxed{\text{(17)}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(31)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

(3)　自然数の列

$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}\cdots$

から$3$の倍数と$5$の倍数を除いて得られる数列を$\{a_n\}$とおく．ただし，$n$は自然数とする．このとき，

(ⅰ)　$a_5=\boxed{\text{(18)}}\text{，}{a}_{10}=\boxed{\text{(19)(20)}}\text{，}{a}_{k+8}=a_k+\boxed{\text{(21)(22)}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{a}_n>2000$を満たす最小の$m$の値は$\boxed{\text{(23)(24)}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(31)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

(4)　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの実数解$-k\text{，}-k+4$をもち，$2$次方程式$x^2+bx+a=0$は少なくとも$1$つの正の実数解をもつ．ただし，$k$は自然数とする．このとき，

(ⅰ)　$a\text{，}b$を$k$の式で表すと，$a=\boxed{\text{(25)}}k-\boxed{\text{(26)}}\text{，}b=k^2-\boxed{\text{(27)}}k$である．

(ⅱ)　$a+b$の値が最大のとき$b=\boxed{\text{(28)(29)}}$であり，$a+b$の値が最小のとき$b=\boxed{\text{(30)(31)}}$である．

【２】　以下の問の$\boxed{\text{(32)}}\text{〜}\boxed{\text{(40)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

　$xy$平面上に$8$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-1)\text{，}\mathrm{C}(2,-2)\text{，}\mathrm{D}(1,1)\text{，}\mathrm{E}(2,2)\text{，}\mathrm{F}(-2,2)\text{，}\mathrm{G}(-2,-2)$がある．これら$8$点を頂点とし，$\mathrm{AO}\text{，}\mathrm{OB}$を$2$辺とする八角形を作る．このとき，

(1)　$\mathrm{BD}$を$1$辺とする八角形は全部で$\boxed{\text{(32)}}$個できる．

(2)　合同である図形同士は$1$種類とするとき，八角形は全部で$\boxed{\text{(33)}}$種類できる．

(3)　全ての八角形の中で，周の長さが最小となる八角形の周の長さは$\sqrt{\boxed{\text{(34)}}}+\boxed{\text{(35)}}\sqrt{\boxed{\text{(36)}}}+\sqrt{\boxed{\text{(37)(38)}}}+\boxed{\text{(39)(40)}}$である．

【３】　以下の問の$\boxed{\text{(41)}}\text{〜}\boxed{\text{(49)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

　$xyz$空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(10,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,10,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,10)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$の中点，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$上の点，点$\mathrm{S}$は三角形$\mathrm{OBC}$の重心，点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AS}$と平面$\mathrm{CPQ}$の交点とする．三角形$\mathrm{APQ}$の面積は${\displaystyle \frac{75}{4}}$である．このとき，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CS}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CO}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{CS}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}}{\boxed{\text{(42)}}}}\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}}}{\boxed{\text{(44)}}}}\overrightarrow{\mathrm{CO}}$である．

(2)　点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$を$\boxed{\text{(45)}}:\boxed{\text{(46)}}$に内分する点である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)(49)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AS}}$である．

【４】　以下の問の$\boxed{\text{(50)}}\text{〜}\boxed{\text{(73)}}$にあてはまる適切な数字またはマイナス符号$\text{（}-\text{）}$をマークしなさい．

　$xy$平面上に$x$の関数$f(x)=x|x-a|-x$のグラフ$y=f(x)$がある．

　$S(x)$は，$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち，$0\leqq x\leqq 1$を満たす部分の総面積とする．ただし，$a$は$a\geqq 0$とする．

(1)　$0\leqq x\leqq a+1$における$f(x)$の最小値は，$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)(51)}}}{\boxed{\text{(52)(53)}}}}$であり，$a={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(54)(55)}}}{\boxed{\text{(56)}}}}$である．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq 1$を満たすとき，$0\leqq x\leqq a+1$における$f(x)$の最小値を$a$の式で表すと

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(57)(58)}}}{\boxed{\text{(59)}}}}{a}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(60)}}}{\boxed{\text{(61)}}}}a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(62)}}}{\boxed{\text{(63)}}}}$

である．

(3)　$a$が$0\leqq a\leqq 1$を満たすとき，$S(a)$を$a$の式で表すと

$S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(64)(65)}}}{\boxed{\text{(66)}}}}{a}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(67)}}}{\boxed{\text{(68)}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(69)}}}{\boxed{\text{(70)}}}}$

である．

(4)　$a$が$0\leqq a\leqq 2$を満たすとき，$S(a)$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(71)}}+\sqrt{\boxed{\text{(72)}}}}{\boxed{\text{(73)}}}}$で最小となる．