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2017 慶応義塾大学 経済学部

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a に対して,座標平面上の直線 y =ax l a とする.

(1) 点 ( 1,3+ 10 ) を中心とする円 C l a y 軸の両方に接するとき, C の半径は (1) であり, a の値は (2) である.

(2)  a=2 とする. la y 軸の両方に接する半径 2 の円の中心を頂点とする四角形の面積は (3) (4) (5) である.

(3)  a=3 とする. la y 軸の両方に接し,中心が第 1 象限にある 2 つの円 C1 C 2 を考える. C1 の半径を 1 とし, C1 C2 l a との接点をそれぞれ P1 P 2 とする.線分 P1 P2 の長さが 4 であるとき, C2 の半径は (6) + (7) (8) (9) である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【2】  t の関数 f (t ) は定数関数ではないとし,すべての実数 α β に対して次を満たすとする.

f( α) 1 2 f( α) f( β)= f( α+β )+f (α -β)

(1)  f( 0)= (10) であり, f( 2α )= (11) { f( α)} 2+ (12) (13) が成り立つ.

(2) 方程式 x +1 x=2 f (α ) を満たす x を考える.等式

x2 +1 x2 =( x+ 1x )2 + (14) (15)

を用いると, x2 + 1x2 = (16) f ( (17) α ) となることがわかる.

(3) さらに,等式

x3 +1 x3 =(x 2+ 1 x2 )( x+ 1x )+ (18) (19) ( x+ 1x )

を用いると, x3 +1 x3 = (20) f ( (21) α ) となることがわかる.

(4) (2),(3)より,一般に,自然数 n に対して

xn + 1xn = (22) f ( (23) n α)

が成り立つと推測される.この推測が正しいことを次のように確かめる.

n=1 2 3 のとき は成り立つ. 3 以上の自然数 k に対して, n=k -1 および n =k のとき が成り立つと仮定すると,等式

xk+ 1+ 1 xk+ 1 =(xk + 1xk ) (x+ 1 x) + (24) (25) ( xn- 1+ 1xn -1 )

より, xk+ 1+ 1 xk+1 = (26) f( (27) (k +(28) ) α ) が成り立つことがわかる.

よって, n=k+ 1 のときにも は成り立つ.

(5)  Sn =f( 0)+ k=1 n-1 f (k α) n=2 3 4 とする. f( α)> 1 のとき,

Sn= 1 + (29) (30) f( α)+ (31) (32) f (( n-1) α) + (33) (34) f( nα ) (35) {1 -f( α) }

となる.

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0 1 2 3 4 5

【3】 右図のような 0 から 5 までの番号のついたマスを使い, A B 2 人が次のルールですごろくゲームを行う.

 最初, 0 番のマスに A B こま がある. A B は互いにさいころを投げるものとし, A がさいころを投げてゲームを開始する. A B のどちらが投げたときも次のようにゲームを進める.さいころの目が偶数のときは, A の駒を 1 つ先の番号のマスに動かし, B の駒は投げる前にあったマスから動かさない.目が奇数のときは, A の駒は投げる前にあったマスから動かさず, B の駒を 1 つ先の番号のマスに動かす.駒が先に 5 番のマスに達した人が上がりとなり,その時点でゲームは終了する.

以下では,さいころを投げた回数は A B の投げた回数の合計とする.

(1) さいころをちょうど 9 回投げたときに A が上がる確率は (36) (37) (38) (39) (40) である.

(2) ゲームを開始してから終了するまで A B の駒があるマスの番号の差が常に 1 以下である確率は (41) (42) (43) である.

(3) ゲームを開始してからさいころを 4 回投げたときまで常に B が先行する確率は (44) (45) (46) である.ただし, B の駒があるマスの番号が A の駒があるマスの番号より大きいとき, B が先行するという.

(4)  A が先に上がったとき,ゲームを開始してからさいころを 4 回投げたときまで常に B が先行していた確率は (47) (48) (49) (50) (51) である.

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【4】  O を原点とする座標空間の 2 A (1, 0, 12 ) B (-1 ,2, 32 ) を通る直線を l とする.また, xy 平面上に点 C ( 9,-3 ,0) をとる.

(1)  l y z 平面の交点の座標を求めよ.

(2) 点 C l 上の点 P を結ぶ線分 CP の長さが最小となるとき, P の座標を求めよ.

(3) 中心が直線 OC 上にある半径 1 の球面を S とする. S l が異なる 2 P Q で交わるとき,線分 QR の長さが最大となる S の中心の座標と,線分 QR の長さの最大値を求めよ.

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【5】  a x y は実数の定数とし, 0<a <1 0 y2 π を満たすとする.複素数 z

z=a xcos y+( ax siny) i

によって定める.ただし, i は虚数単位である.

(1)  zz z 2 のそれぞれの実部と虚部を求めよ.ただし, z z と共役な複素数を表す.

(2)  x=0 のとき, z2 +z =0 を満たす y の値をすべて求めよ.

(3)  z の実部が z の虚部より大きくなるような x y の値の範囲を求めよ.

(4) 複素数 w w =loga ( ax cosy )+ {log a( ax siny) }i によって定める. w の実部が w の虚部より大きくなるような x y の値の範囲を求めよ.

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【6】  x の関数 F (x )

F( x)= |x+ 1|+ -1x (1 -|t | )d t

によって定める.

(1)  x の値について場合分けをして,それぞれの場合に F (x ) x の整式で表せ.

(2) 曲線 y =F( x) x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

(3) 曲線 y =F( x) 上の 2 A ( a,F (a) ) B (b, f(b )) を通る直線の傾きを m とする.ただし, a<b とする. A B を結ぶ線分の中点が (0 , 32 ) であるとき, b m のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ.

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