2017　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0\leqq x<2\pi$のとき，関数$f(x)=4\sqrt{3}\cos x-4\sin x+5$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}}}\pi$で最大値$\boxed{\text{(4)}\text{(5)}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}}}}\pi$で最小値$\boxed{\text{(8)}\text{(9)}}$をとる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　以下のようにして数列$\{a_n\}$を定義する．$a_1=1$とする．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，曲線$y=x^5$上の点$(a_n,{a_n}^5)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，数列$\{a_n\}$の漸化式は

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}{a}_n$

である．数列$\{a_n\}$の隣接する$2$項の差$a_n-a_{n+1}$が${\displaystyle \frac{1}{1000}}$以下である自然数$n$の最小値は$\boxed{\text{(12)}\text{(13)}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　$\mathrm{A}$社は工場${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}$で商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$を製造している．商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$の製造費用を表す変数は，製造量$x$の関数であるとする．この関数を$c(x)$で表す．以下の分析を容易にするため，$c(x)$は区間$x\geqq 0$を定義域とする関数とし，$c(0)=0$とする．また，正の実数$u$に対して，関数$c(x)$の$x=u$における微分係数が定るとし，その値を$x=u$における限界費用といい，$m(u)$で表す．さらに，$a(x)={\displaystyle \frac{c(x)}{x}}$と定め，正の実数$u$に対して，$a(u)$を$x=u$における平均費用という．ここで，

$m(x)=x^2-8x+17\cdots \text{①}$

であることがわかったとする．

(ⅰ)　区間$x>0$において，限界費用が最小となる製造量を$x_m$で表すと$x_m=\boxed{\text{(14)}}$であり，平均費用が最小となる製造量を$x_a$で表すと$x_{\alpha }=\boxed{\text{(15)}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{x_m}^{x_a+1}}|m(x)-a(x)|dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}}}}$である．

(ⅲ)　この問いでは，限界費用$m(x)$を特定する式$\text{①}$は仮定しないことにする．その場合でも，ある$\bar{x}>0$に対して，平均費用$a(x)$が区間$0<x\leqq \bar{x}$において単調に減少するならば，すなわち，$0<u<v\leqq \bar{x}$ならば$a(u)>a(v)$となるならば，

$x_1+x_2\leqq \bar{x}\text{，}{x}_1>0\text{，}{x}_2>0$

を満たす任意の$x_1\text{，}{x}_2$に対して，

$c(x_1+x_2)<c(x_1)+c(x_2)$

となることを証明せよ．

(ⅳ)　$\mathrm{B}$社は工場${\mathrm{F}}_{\mathrm{B}}$で商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$と同等な商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$を製造している．商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$の製造費用は，商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$の製造費用と同じであるとする．すなわち，$\mathrm{B}$社における商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$の製造費用は，製造量$x$の関数$c(x)$で定まる．

　ここで，$\mathrm{A}$社が$\mathrm{B}$社を買収したとし，商品の製造は$\mathrm{A}$社が工場${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}$ですべてまとめて行うこととする．（商品が同等なので，工場${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}$で製造した商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$を$\mathrm{B}$社の顧客に提供しても何ら問題はない．また，このとき，工場${\mathrm{F}}_{\mathrm{B}}$における製造量は$0$になる．）買収前と比較して，製造を集約することによって両社合わせた製造費用が節約される度合いを求めてみよう．

　買収時点での商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$と商品${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}$の製造量を，それぞれ$u_1$と$u_2\text{（}{u}_1>0\text{，}{u}_2>0\text{）}$とする．このとき，節約される費用は，再び，限界費用$m(x)$に対して式$\text{①}$を仮定すると，

$u_1{u}_2(\boxed{\text{(イ)}})$

となる．（もしこの値が負となる場合は，製造費用は節約ではなく追加されることになる．）

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$2$つの平面${\pi }_1$と${\pi }_2$がある．平面${\pi }_1$の方程式は，$x-2y+3z+1=0$であり，平面${\pi }_2$の方程式は，$3x+4y-7z-5=0$である．そして，平面${\pi }_1$と${\pi }_2$の交線を$l$とする．

(ⅰ)　ある点の原点$\mathrm{O}$を基準とする位置ベクトル$\overrightarrow{p_0}=(1,\boxed{\text{(19)}},\boxed{\text{(20)}})$と，方向ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\boxed{\text{(21)}},\boxed{\text{(22)}})$を用いると，

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_0}+t\overrightarrow{v}$

は直線$l$のベクトル方程式である．ここで，$\overrightarrow{p}$は直線$l$上の点の原点$\mathrm{O}$を基準とする位置ベクトルで，$t$は実数である．

(ⅱ)　点$\mathrm{A}(2,-8,3)$を中心とする球面$S$を考える．球面$S$と直線$l$が$1$点のみを共有するとき，その共有点の座標は$(\boxed{\text{(23)}},\boxed{\text{(24)}\text{(25)}},\boxed{\text{(26)}\text{(27)}})$である．また，球面$S$と直線$l$が異なる$2$点を共有し，その$2$つの共有点と点$\mathrm{A}$を頂点とする三角形の面積が$24\sqrt{35}$であるとき，その$2$つの共有点の座標は，$(\boxed{\text{(28)}\text{(29)}},\boxed{\text{(30)}\text{(31)}\text{(32)}},\boxed{\text{(33)}\text{(34)}\text{(35)}})$と$(\boxed{\text{(36)}},\boxed{\text{(37)}\text{(38)}},\boxed{\text{(39)}})$である．

(ⅲ)　直線$l$は$x$軸に平行な平面${\pi }_3$と$y$軸に平行な平面${\pi }_4$の交線でもある．このとき，平面${\pi }_3$の方程式は

$\boxed{\text{(ウ)}}=0$

であり，平面${\pi }_4$の方程式は

$\boxed{\text{(エ)}}=0$

である．（これらの方程式はできる限り簡単な形にせよ．）

【４】　箱の中に赤玉$5$個，青玉$4$個，白玉$3$個が入っている．玉には$1$から$5$までの整数のいずれか$1$つが書かれており，赤玉には$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の各数が$1$つずつ，青玉には$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の各数が$1$つずつ，白玉には$1\text{，}2\text{，}3$の各数が$1$つずつ書かれている．

　この箱から太郎が玉を$1$個取り出し，その玉を戻さず残りの玉から花子が$1$個取り出す．このとき，玉に書かれた数が同じならば，おのおのが自分が取り出した玉を獲得し，異なるならば，大きい数が書かれた玉を取り出した方が両方の玉を獲得するゲームを行う．

(ⅰ)　このゲームにおいて，太郎が$1$個の玉を獲得する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}}}$であり，花子が$2$個の玉を獲得する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}\text{(46)}}}}$である．そして，花子が$2$個の玉を獲得したとき，玉に書かれた数の差の絶対値が$n$である確率を$p_n$とすると，

${\displaystyle \sum _{n=1}^4}n{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}\text{(48)}\text{(49)}}}{\boxed{\text{(50)}\text{(51)}}}}$

である．

(ⅱ)　このゲームにおいて，太郎が少なくとも$1$個の赤玉を獲得する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(52)}\text{(53)}}}{\boxed{\text{(54)}\text{(55)}}}}$である．

(ⅲ)　このゲームを$2$回繰り返すことを考える．$1$回目のゲームで獲得した玉を箱に戻さず，続けて$2$回目のゲームを行ったとき，太郎が$2$回とも同色の玉を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(56)}\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)}\text{(59)}}}}$である．また，花子が$2$回のゲームを通じて獲得した玉に書かれた数の和が$15$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(60)}}}{\boxed{\text{(61)}\text{(62)}\text{(63)}}}}$である．