2017　上智大学　TEAP文系2月3日実施MathJax

【１】

(1)　不等式$x^{{\log }_3{x}^3}\geqq {\left({\displaystyle \frac{27}{x^2}}\right)}^3$を解くと，

$\boxed{\text{ア}}<x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}x\geqq \boxed{\text{エ}}$

である．

【１】

(2)　$f(x)=x^2+3x$とし，方程式$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$a<\alpha \text{，}\beta <b$を満たす実数$a\text{，}b$に対して，

${\displaystyle {\int }_a^b}|f(x)|dx-{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx=\boxed{\text{オ}}$

である．

【１】

(3)　$x\text{，}y$は実数とする．次の$\boxed{\text{カ}}\text{〜}\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを，下の選択肢から選べ．

(ⅰ)　$x+y>0$は，$xy>0$であるための$\boxed{\text{カ}}$

(ⅱ)　$x^2+y^2>2xy$は，$x\ne y$であるための$\boxed{\text{キ}}$

(ⅲ)　関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^3-2x^2+7x+12& \text{（}x\leqq -1\text{）}\\ x^3+2x^2-7x-4& \text{（}-1<x\leqq 2\text{）}\\ |{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-6x+16|-8& \text{（}2<x\text{）}\end{array}$

に対し，$x=4\text{，}8$は，$f(x)$が最小値をとるための$\boxed{\text{ク}}$

選択肢：

(a)　必要条件であるが十分条件でない．

(b)　十分条件であるが必要条件でない．

(c)　必要十分条件である．

(d)　必要条件でも十分条件でもない．

【２】　直線$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{A}$を中心とする円$C$に点$\mathrm{P}$で接している．円$C$上の点$\mathrm{R}$について$\theta =\angle \mathrm{QPR}$とおき，$\angle \mathrm{QPS}=2\theta$となる円$C$上の点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の性質を満たしているとする．

$\{\begin{array}{l}0<\theta <\pi \\ \mathrm{PR}=1\\ \mathrm{PS}=2\cos 2\theta +3\cos \theta -1\end{array}$

(1)

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}\mathrm{PS}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

(2)　$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数$a$について，線分$\mathrm{PS}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{T}$とし，直線$\mathrm{RT}$と円$C$の交点のうち，$\mathrm{R}$でない点を$\mathrm{U}$とする．$\mathrm{RT}=\mathrm{TU}$となるとき，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}\mathrm{RT}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}\mathrm{SU}=\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

である．

(3)　(2)の条件をみたすとき，直線$\mathrm{AR}$と線分$\mathrm{SU}$の交点を$\mathrm{V}$とし，直線$\mathrm{AR}$と線分$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{W}$とする．このとき，$\mathrm{SW}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，

$\mathrm{SV}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}\text{，}\mathrm{UV}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$

である．

【３】　容器$\mathrm{A}\text{，}$容器$\mathrm{B}$にそれぞれ粘土が$1\mathrm{kg}$ずつ入っている．$1$日ごとに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれに入っている粘土の重さを計測し，その後，容器$\mathrm{A}$に入っている粘土のうち${\displaystyle \frac{1}{4}}$の量を$\mathrm{B}$へ，容器$\mathrm{B}$に入っている粘土のうち${\displaystyle \frac{1}{10}}$の量を$\mathrm{A}$へ移す．ただし，粘土は容器$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から同時に取り出すものとする．$n$日目の計測時点で$\mathrm{A}$に入っている粘土の重さを$a_n\text{（}\mathrm{kg}\text{），}\mathrm{B}$に入っている粘土の重さを$b_n\text{（}\mathrm{kg}\text{）}$とする．例えば，$n=1$のとき，$a_1=1\text{，}{b}_1=1$である．なお，必要であれば，

$\begin{array}{lll}{\log }_{10}2=0.3010\text{，}& {\log }_{10}3=0.4771\text{，}& {\log }_{10}1.1=0.0414\\ {\log }_{10}1.3=0.1139\text{，}& {\log }_{10}1.7=0.2304\text{，}& {\log }_{10}3.1=0.4914\end{array}$

として用いてよい．

(1)　$a_3$と$b_3$をそれぞれ既約分数で表す．このとき，分子の一の位の数字は，$a_3$については$\boxed{\text{ハ}}\text{，}{b}_3$については$\boxed{\text{ヒ}}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$の一般項は，それぞれ

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\right)}^{n-1}$

$b_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}\right)}^{n-1}$

である．

(3)　$2a_n\leqq b_n$となる最小の$n$は，$n=\boxed{\text{リ}}$である．