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2017-13363-0201
2017 上智大学 TEAP理系
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 AB=AC =1 ,∠ A が直角である直角三角形 ABC を底面とする高さ 3 の三角柱を考える.その上面を PQR とし, AP ,BQ 上の点 A′ , B ′ について AA ′=a , BB′ =b とおく.
(1) A′ C ,A ′B′ , B ′C をそれぞれ a , b で表せ.
以下, ∠A ′B ′C が直角であるとする.
(2) a と b が満たすべき関係を式で表せ.
(3) b がとり得る値の範囲を求めよ.
(4) ▵A ′B ′C の面積の最大値と最小値を求めよ.
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【2】 c ,d を正の実数とする.数列 { xn } は漸化式
x1 =d ,x n+1 =x n2 +c ( n≧ 1 )
で定義される.
(1) c> 1 4 とする.
(ⅰ) 数列 { xn } はすべての自然数 n に対して, xn <xn +1 を満たすことを示せ.
(ⅱ) limn →∞ xn =∞ であることを示せ.ただし,数列 { xn }, { yn } に対して,『 limn→ ∞y n=∞ かつ,すべての自然数 n について xn≧ yn であるならば, limn →∞ xn =∞ 』であることは使ってよいものとする.
(2) c< 14 とする. 2 次方程式 x2-x +c=0 の 2 つの異なる実数解を α , β とする. α<d <β であるとき,数列 { xn } はすべての自然数 n に対して
α< xn< β かつ xn> xn+ 1
を満たすことを示せ.
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【3】 n は 6 以上の自然数とする. 1 から n までの数字が 1 つずつ書かれた n 枚のカードがある.これらの中から同時に 3 枚のカードを引くとき,この 3 枚のカードの最小の数字が 3 である確率を p n とする.
(1) p6 = ア イ ,p 7= ウ エ である.
(2)
pn= オ ⁢( n- カ )⁢ (n- キ ) (n - ク ) ⁢(n - ケ )⁢ (n- コ )
である.ただし, カ < キ , ク < ケ < コ である.
(3) pn <pn +1 となる最大の n は サ である.また, pn =pn +1 となる n は シ である.
(4) n= ス , セ のとき, pn は最大値 ソ タ をとる.ただし, ス < セ である.
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【4】 次のグラフ(1),(2),(3),(4)が表す関数 y =f⁡( x) それぞれに対して F ⁡( x)= ∫ 0xf ⁡(t )⁢d t と定義する. y=F⁡ (x ) のグラフとしてふさわしいものを選択肢(a)〜(j)から選べ.
(1)
(3)
(4)
[選択肢]
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)