2017　上智大学　経済，外国語,総合人間科学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　関数

$f(x)={({\log }_2{x}^2)}^2+{\log }_2(6x^4)({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 8)$

は，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$で最小値${\log }_2\boxed{\text{ウ}}$をとる．

【 １】(2)　方程式$3x+5y=2$のすべての整数解$x\text{，}y$を次で表す．

$x=ak+b\text{，}y=ck+d$（$k$は整数）

ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は整数の定数で，$a>c\text{，}|ad|<5$を満たすものとする．このとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は，$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}\text{，}c=\boxed{\text{カ}}\text{，}d=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】(3)　$\alpha =-1+\sqrt{3}i\text{，}\beta =1+\sqrt{3}i$とする．このとき，自然数$n$に対し

${\displaystyle \frac{{\alpha }^{n+2}+2{\alpha }^{n+1}+4{\alpha }^n+3{\alpha }^5+12{\alpha }^4+12{\alpha }^3}{{\beta }^6-2{\beta }^5+6{\beta }^4}}$

の値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}i$である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．$2$つの関数

$f(x)=-x^2+4\text{，}g(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

を考える．$2$点$\mathrm{A}(-1,f(-1))\text{，}\mathrm{B}(2,f(2))$は，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点である．

(1)　$b=\boxed{\text{ス}}a+\boxed{\text{セ}}\text{，}c=\boxed{\text{ソ}}a+\boxed{\text{タ}}$である．

(2)　$g^{\prime }(1)=0$を満たすとする．このとき，$a=\boxed{\text{チ}}$である．また，曲線$y=g(x)$上の点$\mathrm{P}(x,g(x))$が$-1<x<2$の範囲で動くとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を頂点とする$▵\mathrm{ABP}$の面積が最大となるのは，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

のときである．

(3)　$a>0$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と，点$\mathrm{Q}(0,g(0))$を頂点とする$▵\mathrm{ABQ}$の面積を$S_1$とする．このとき，$S_1=\boxed{\text{ヌ}}(a+\boxed{\text{ネ}})$である．また，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$l$と放物線$y=f(x)$が囲む図形の面積を$S_2$とする．$S_2-{S_1}^2$は，$a=\boxed{\text{ナ}}+\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$のとき最小となる．

【３】　さいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$m\text{，}2$回目に出た目を$n$とする．この$m$と$n$を用いて，座標空間に点$\mathrm{P}(m,n,0)$をとる．また，平面$z=0$上において，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$x>0\text{，}y>0\text{，}{x}^2+y^2<36$

(1)　$\mathrm{P}$が$D$に含まれる$m$と$n$の組は，$\boxed{\text{フ}}$組ある．

(2)　座標空間において，原点を中心とし，半径が$6$の球$O$を考える．$\mathrm{P}(m,n,0)$が$D$に含まれるとき，球$O$の球面上に点$\mathrm{Q}(m,n,a)$をとり，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．

(ⅰ)　$k=m^2+n^2$とおくとき，$S$を$k$で表すと，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}{k}^2+\boxed{\text{ホ}}k+\boxed{\text{マ}}}$

である．

(ⅱ)　$S$の最大値$\boxed{\text{ミ}}$を与える$m$と$n$の組は，$\boxed{\text{ム}}$組ある．

(ⅲ)　$\mathrm{P}$が$D$に含まれるときに，$7\leqq S\leqq \boxed{\text{ミ}}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$である．また，$\mathrm{P}$が$D$に含まれ，さらに$7\leqq S\leqq \boxed{\text{ミ}}$であるときに，$\mathrm{P}$について$m+n\geqq 6$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．