2017 上智大学 法,経済,外国語学部2月7日実施MathJax

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2017 上智大学 法(地球),経済(経営),外国語(英語)学部

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 関数 f (x )

f( x)= 0x (a t2- 5t+ a) dt x>0

とする.ただし, a を正の実数とする.

(ⅰ)  f( x) は, 0<a < ならば極値をとり, a ならば極値をとらない.

(ⅱ)  f( x) が極値をとらない場合を考える. y=f (x ) のグラフにおいて,接線の傾きが最小となる接点の y 座標は, ( 1+ 1 a2 ) である.

2017 上智大学 法(地球),経済(経営),外国語(英語)学部

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2)  2 つの整式 f (x ) g (x ) は,次の 3 つの条件を満たす.

{ f( 1)= 0 f( x2) =x2 f( x)+ x3- 1 f( x+1) +(x -1) {g (x -1) -1} =2f (x )+ {g (1 )} 2+1

(ⅰ)  f( 3)= g( 3)= である.

(ⅱ)  f( 2x2 )+g (3 ) x2 2 x-1 で割ったときの余りは, である.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

2017年上智大2月7日実施【2】2017133630603の図

【2】 一辺の長さが 3 の立方体 ABCD EFGH を考え,辺 BF 3 :1 に内分する点を P DH 1 :1 に内分する点を Q とする.直線 AP と直線 EF の交点を I 直線 AQ と直線 EH の交点を J とし, 3 A P Q の定める平面を α とする.

(1)  FI の長さは であり, HJ の長さは である.

(2) 直線 FG と平面 α の交点を K とする.このとき,

AK = AI + AJ

である.

(3) 立方体 ABCD EFGH を平面 α で切断したときの切断面の周の長さは,

+ +

である.ただし, < とする.

(4)  AB =b AD =d AE =e とする.このとき,

CE = b+ d+ e

である.また,直線 CE と平面 α の交点を L とすると,

CL = CE

である.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【3】 次の 2 式を満たす整数 p q r がある.

p+q+ r=6 p 2=q 2+r 2

(1)  (p ,q,r ) のとり得る組は全部で 組ある. r のとり得る値のうち最小の r であり,このとき, p= q= である.

(2)  (p ,q,r ) のとり得るすべての組を r の値が大きいものから順に

(p 1,q 1,r 1) ( p2, q2, r2 ) ( p3, q3, r3 )

と並べる.

(ⅰ)  |p 1q 1| =a とおく. a 以下の自然数のうち, a と互いに素である組の個数は である.

(ⅱ)  | p2| r2 | q2 | 進法で表したときの | q2 |0 の位の数字は である.

(ⅲ)  p3 x+q 3y =r3 を満たす x y がともに 2 けた となる自然数 ( x,y ) の組は 組ある.このうち最小の x であり,このとき y= である.

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