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2017-13363-0601
2017 上智大学 法(地球),経済(経営),外国語(英語)学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= ∫ 0x (a⁢ t2- 5⁢t+ a)⁢ dt ( x>0 )
とする.ただし, a を正の実数とする.
(ⅰ) f⁡( x) は, 0<a < ア イ ならば極値をとり, a≧ ア イ ならば極値をとらない.
(ⅱ) f⁡( x) が極値をとらない場合を考える. y=f⁡ (x ) のグラフにおいて,接線の傾きが最小となる接点の y 座標は, ウ エ ⁢( 1+ オ カ ⋅ 1 a2 ) である.
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(2) 2 つの整式 f ⁡(x ), g⁡ (x ) は,次の 3 つの条件を満たす.
{ f⁡( 1)= 0 f⁡( x2) =x2 ⁢f⁡( x)+ x3- 1 f⁡( x+1) +(x -1) ⁢{g ⁡(x -1) -1} =2⁢f ⁡(x )+ {g⁡ (1 )} 2+1
(ⅰ) f⁡( 3)= キ , g⁡( 3)= ク である.
(ⅱ) f⁡( 2⁢x2 )+g ⁡(3 )⁢ x2 を 2 ⁢x-1 で割ったときの余りは, ケ コ である.
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【2】 一辺の長さが 3 の立方体 ABCD ‐EFGH を考え,辺 BF を 3 :1 に内分する点を P , 辺 DH を 1 :1 に内分する点を Q とする.直線 AP と直線 EF の交点を I , 直線 AQ と直線 EH の交点を J とし, 3 点 A ,P , Q の定める平面を α とする.
(1) FI の長さは サ であり, HJ の長さは シ である.
(2) 直線 FG と平面 α の交点を K とする.このとき,
AK→ = ス セ ⁢ AI→ + ソ タ ⁢ AJ→
である.
(3) 立方体 ABCD ‐EFGH を平面 α で切断したときの切断面の周の長さは,
チ ツ + テ ト ⁢ ナ + ニ ヌ ⁢ ネ
である.ただし, ナ< ネ とする.
(4) AB→ =b→ , AD→ =d→ , AE→ =e→ とする.このとき,
CE→ = ノ ⁢ b→+ ハ ⁢ d→+ ヒ ⁢ e→
である.また,直線 CE と平面 α の交点を L とすると,
CL→ = フ ヘ ⁢ CE→
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【3】 次の 2 式を満たす整数 p , q ,r がある.
p+q+ r=6 ,p 2=q 2+r 2
(1) (p ,q,r ) のとり得る組は全部で ホ 組ある. r のとり得る値のうち最小の r は マ であり,このとき, p= ミ , q= ム である.
(2) (p ,q,r ) のとり得るすべての組を r の値が大きいものから順に
(p 1,q 1,r 1) ,( p2, q2, r2 ), ( p3, q3, r3 ), ⋯
と並べる.
(ⅰ) |p 1⁢q 1| =a とおく. a 以下の自然数のうち, a と互いに素である組の個数は メ である.
(ⅱ) | p2| r2 を | q2 | 進法で表したときの | q2 |0 の位の数字は モ である.
(ⅲ) p3 ⁢x+q 3⁢y =r3 を満たす x , y がともに 2 桁けた となる自然数 ( x,y ) の組は ヤ 組ある.このうち最小の x は ユ であり,このとき y= ヨ である.