2017　東京理科大学　理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ソ}}$などは既出の$\boxed{\text{ソ}}$を表す．

(1)　$3$次関数$f(x)$を，$x=1\text{，}4$で極値をとり，$f(0)=2$と$f^{″}(0)=-30$を満たすものとする．ここで$f^{″}(x)$は$f(x)$の第$2$次導関数を表す．このとき，

$f(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^3-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ソ}}$などは既出の$\boxed{\text{ソ}}$を表す．

(2)　$a$を定数として，$3$次関数$g(x)=x^3-a{x}^2+4x-3$が極値をもつのは，$\left|a\right|>\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$のときである．次に，$a>0$とする．$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$について，方程式$g^{\prime }(x)=0$の解がただ$1$つのとき，その解は

$x＝{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ソ}}$などは既出の$\boxed{\text{ソ}}$を表す．

(3)　次の不定積分を求めると，

$18{\displaystyle \int }{x}^2\log xdx=\boxed{\text{サ}}{x}^{\boxed{\text{シ}}}\log x-\boxed{\text{ス}}{x}^{\boxed{\text{セ}}}+C$

となる．ただし，$\log$は自然対数を表し，$C$は積分定数を表す．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ソ}}$などは既出の$\boxed{\text{ソ}}$を表す．

(4)　$x>0$に対し，

$f(x)=3{\displaystyle {\int }_3^{x+3}}|{(t-3)}^2-4|dt$

を求めると，$0<x\leqq \boxed{\text{ソ}}$のとき，

$f(x)=-x^3+\boxed{\text{タ}\text{チ}}x$

となる，$x>\boxed{\text{ソ}}$のとき，

$f(x)=x^3-\boxed{\text{ツ}\text{テ}}x+\boxed{\text{ト}\text{ナ}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ソ}}$などは既出の$\boxed{\text{ソ}}$を表す．

(5)　$1\text{，}5\text{，}{5}^2\text{，}\cdots \text{，}{5}^{k-1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を順番に並べて得られる次の数列を考える．

$1\text{，}1\text{，}5\text{，}1\text{，}5\text{，}{5}^2\text{，}1\text{，}5\text{，}{5}^2\text{，}{5}^3\text{，}1\text{，}5\text{，}{5}^2\text{，}{5}^3\text{，}{5}^4\text{，}\cdots$

(a)　第$40$項は$5^{\boxed{\text{ニ}}}$である．

(b)　初項から第$777$項までに，$1$である項は$\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}$個ある．

(c)　自然数$n$に対し，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n\geqq 1000$を満たす最小の$n$は$\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}$である．

【２】　座標平面上に，中心が点$(0,1)\text{，}$半径が$1$の円がある．この円周上の定点$\mathrm{P}$は最初，原点にあるとして，この円が$x$軸上を正の方向にすべることなく回転するとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．円の回転した角を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(\theta -\sin \theta ,1-\cos \theta )$で与えられる．

(1)　$x=\theta -\sin \theta \text{，}y=1-\cos \theta$とおく．$0<\theta <2\pi$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$\theta$の関数として表せ．

(2)　$0<\theta <2\pi$のとき，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の法線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　定数$c>0$に対し，$f(x)=e^{-cx}$とおく．ここで，$e$は自然対数の底である．

(1)　方程式$x=f(x)$は$0<x<1$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．

数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を，$a_1=1$とし，$n\geqq 1$に対し，$a_{n+1}=f(a_n)$と定める．また，$\alpha$を(1)の解とする．

(2)　すべての自然数$n$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

$|a_{n+1}-\alpha |\leqq c|a_n-\alpha |$

以下，$0<c<1$とする．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$を示せ．

(4)　座標平面において，点

$(a_1,a_2)\text{，}(a_2,a_2)\text{，}(a_2,a_3)\text{，}(a_3,a_3)\text{，}(a_3,a_4)\text{，}(a_4,a_4)\text{，}\cdots$

を順に線分で結び，$(2n-1)$本目までの線分の長さの和を$S_n$とおく．すなわち，

$S_n=|a_1-a_2|+2(|a_2-a_3|+\cdots +|a_n-a_{n+1}|)$

である．このとき次が成り立つことを示せ．

すべての自然数$n$に対して，$S_n<{\displaystyle \frac{1+c}{1-c}}(1-e^{-c})$