2017　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ユ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{カ}}$を表す．

(1)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=7\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+9^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

まず，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{9^n}}$とおくことにより

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}{b}_n+\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

となる．次に，$c_n=b_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$とおくと

$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{c}_n$

となる．よって数列$\{c_n\}$は，初項$c_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$の等比数列である．以上より，数列$\{a_n\}$の一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\times {\boxed{\text{ス}}}^{n+\boxed{\text{セ}}}+{\boxed{\text{ソ}}}^{2n}}{\boxed{\text{タ}}}}$

となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ユ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{カ}}$を表す．

(2)(a)　すべての実数$\alpha$に対し，

$\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ツ}}}})$

が成り立つ．よって$\alpha$が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，

$\sin \alpha +\cos \alpha$

は，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{テ}}}}$で最大値$\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$をとり，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ナ}}}}$で最小値$\boxed{\text{ニ}}$をとる．

(b)　実数$\alpha \text{，}\beta$が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，

$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$

は，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ヌ}}}}$かつ$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ネ}}}}$のとき最大値$\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ユ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{カ}}$を表す．

(3)　$1$個のさいころを$3$回投げ，出た目の数を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．積$abc$を$n$とおく．

(a)　$n$が素数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}\text{フ}}}}$である．ただし，素数とは$2$以上の自然数で，$1$とそれ自身以外に正の約数を持たない数である．

(b)　$n$が$2$の倍数，$5$の倍数，$10$の倍数となる確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}\text{メ}\text{モ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．

【２】　平面上に$▵\mathrm{OAB}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

$t$を正の実数とし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-t\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=-t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たす点とする．また，$2$直線$\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k\overrightarrow{\mathrm{BP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=-l\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を満たす実数$k\text{，}l$を，$t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{OBR}$の面積を$S_2$とおく．${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$t$を用いて表せ．また，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$と曲線$C$を

$f(x)={\displaystyle \frac{4}{x}}\text{，}C\text{：}y=f(x)$

で定める．定数$a$を$a>2$を満たすものとして，$C$上の$2$点$\mathrm{Q}(2,f(2))\text{，}\mathrm{A}(a,f(a))$をとる．点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}(b,0)$とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BQ}\text{，}$および曲線$C$の弧$\mathrm{QA}$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．

(1)　接線$l$の方程式を，$a$を用いて表せ．また，$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$V$を$a$を用いて表せ．

(3)　$\underset{a\to 2+0}{\lim }{\displaystyle \frac{V}{{(a-2)}^2}}$の値を求めよ．

(4)　$V=12\pi$となるとき，$a$の値を求めよ．