2017　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$e$を自然対数の底とする．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}}{3x}}\text{（}x\ne 0\text{）}$とする．

(a)　関数$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$で極小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{e}^{\boxed{\text{オ}}}$をとる．

(b)　曲線$y=f(x)$上の点$(3,f(3))$における接線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}{e}^{\boxed{\text{ケ}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{e}^{\boxed{\text{シ}}}$

である．

(2)　$a$を定数とする．方程式

$e^{4x-11}-2a{x}^3+12a{x}^2-24ax+16a=0$

が実数解をもつのは

$a<\boxed{\text{ス}}\text{，}a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$

のときである．

【２】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{CA}=5$である$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$であり，内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\text{，}$外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$である．

(2)　$\sin \angle \mathrm{CAP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$であるから，線分$\mathrm{CI}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}$である．

(3)　線分$\mathrm{BP}$と$\mathrm{CP}$の長さの比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{CP}}}$と，線分$\mathrm{AI}$と$\mathrm{PI}$の長さの比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{PI}}}$は，それぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【３】　$a$を定数とする．$xy$平面上において，中心が$(a,0)\text{，}$半径が$2$である円を$C$とし，直線$y=-4$に接し，円$C$と外接するような円の中心の軌跡を$T$とする．軌跡$T$と$y$軸との共有点を$\mathrm{P}$とし，$T$と$x$軸によって囲まれた領域（境界線を含む）を$D$とする．

(1)　領域$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi$である．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標は

$(0,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}{a}^{\boxed{\text{ク}}}-\boxed{\text{ケ}})$

であるから，領域$D$の境界線と$y$軸が共有点をもつのは

$-\boxed{\text{コ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{サ}}\cdots$(＊)

のときである．

(3)　$a$が(＊)の範囲にあるとき，軌跡$T$と$x$軸との共有点のうち，$x$座標が一番大きい点を$\mathrm{Q}$とする．$a$が(＊)の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\boxed{\text{シ}\text{ス}}$である．ただし，$\mathrm{P}=\mathrm{Q}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$は点$\mathrm{Q}$のこととする．

【４】　赤球と白球がそれぞれ$1$個ずつ入っている袋$\mathrm{A}$と，赤球が$3$個と白球が$5$個入っている袋$\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{A}$の中をよくかき混ぜてから球を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，続いて袋$\mathrm{B}$の中をよくかき混ぜてから球を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れるという試行を，袋$\mathrm{A}$の中が赤球のみになるまで繰り返す．赤球のみになったらそれ以上試行を繰り返さず終了する．$n$を自然数とする．$n$回目の試行が行われ，かつ，それを終えたときに袋$\mathrm{A}$の中に赤球，白球がそれぞれ$1$個ずつ入っている確率を$p_n\text{，}$白球が$2$個入っている確率を$q_n$とする．

(1)　$p_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{q}_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}$である．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表すと

$p_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{p}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{q}_n\text{，}{q}_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}{p}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{q}_n$

となる．

(3)　$\alpha$を正の定数として，$r_n=p_n+\alpha q_n\text{，}{s}_n=p_n-\alpha q_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{r_n\}\text{，}\{s_n\}$がともに等比数列となるのは，

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}$

のときであり，そのとき，$\{r_n\}$の公比は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}$

である．

(4)　ちょうど$4$回目の試行で終了する確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}\text{ホ}\text{マ}}}}$である．

【５】　$p$を$0<p<1$を満たす定数とし，$f(x)=x^{p-1}+{\displaystyle \frac{1}{x^p}}\text{（}x>0\text{）}$とする．文中の$\log$は自然対数を表す．

(1)　$g(x)=2f(x)$とし，曲線$y=g(x)$上の点$(1,g(1))$における接線を$l$とする．

(a)　$l$の方程式は$y=-\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$である．

(b)　曲線$y=g(x)\text{，}$接線$l$および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S_1$とおくと

$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{p}}({\boxed{\text{エ}}}^p-\boxed{\text{オ}})+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{カ}}-p}}({\boxed{\text{エ}}}^{1-p}-\boxed{\text{キ}})-\boxed{\text{ク}}$

である．$p$が${\displaystyle \frac{1}{9}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{4}{5}}$の範囲を動くとき，$S_1$は$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のとき最小値をとり，$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$のとき最大値をとる．

(2)　$h(x)={\{f(x)\}}^2$とする．曲線$y=h(x)\text{，}$直線$x=1\text{，}x=5$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とおくと，$p\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき

$S_2={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ス}}}^{\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}}p}-{\boxed{\text{ス}}}^{-\boxed{\text{セ}}+\boxed{\text{ソ}}p}}{1-\boxed{\text{タ}}p}}+\boxed{\text{チ}}\log \boxed{\text{ツ}}$

であり，$\underset{p\to \frac{1}{2}}{\lim }{S}_2=\boxed{\text{テ}}\log \boxed{\text{ト}}$である．