2017　東京理科大学　理学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからユにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，分数は既約分数として表すものとする．

(1)　正四面体$\mathrm{ABCD}$上に$2$つの動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はともに頂点$\mathrm{A}$を出発し，次のルールに従って$1$秒ごとに各頂点を移動するものとする．

・$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ頂点$\mathrm{X}$にあれば，その$1$秒後に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は独立に，$\mathrm{X}$以外の$3$頂点のいずれかに確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で移動する．

・$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が異なる$2$頂点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$にあれば，その$1$秒後に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は独立に，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$以外の$2$頂点のいずれかに確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で移動する．

(a)　出発して$1$秒後に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　出発して$2$秒後に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(c)　出発して$3$秒後に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$である．

(d)　$\mathrm{A}$を出発してから$3$秒経過したときに，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$のどちらも$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$3$頂点すべてに到達し終えている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからユにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．また，分数は既約分数として表すものとする．

(2)　正の実数$x$に対して

$g(x)={\displaystyle {\int }_1^2}|t-3x|dt\text{，}h(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|t^2-x^2|dt\text{，}$

$f(x)=g(x)-h(x)$

と定める．

(a)　$g(x)$を計算すると，$g(x)=\{\begin{array}{ll}-\boxed{\text{セ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}& (0<x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}})\\ \boxed{\text{チ}}{x}^2-\boxed{\text{ツ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}& ({\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}})\\ \boxed{\text{ナ}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}& (x\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}})\end{array}$

となる．

(b)　$h(x)$を計算すると，$h(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}{x}^3-x^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}& \text{（}0<x\leqq 1\text{）}\\ x^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}& \text{（}x\geqq 1\text{）}\end{array}$

となる．

(c)　方程式$f(x)=0\text{（}x>0\text{）}$の実数解の個数は$\boxed{\text{ホ}}$個である．

(d)　方程式$f(x)=k\text{（}x>0\text{）}$の実数解の個数が$1$個になるような実数$k$の範囲は

$k<\boxed{\text{マ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}\text{モ}}}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$

である．

【２】　$t$は$0<t<2$を満たす実数とする．座標平面において，楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$と直線$y=t$の交点のうち，第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}\text{，}$第$2$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{A}(0,-2)$に対し，三角形$\mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)$の導関数$S^{\prime }(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$0<t<2$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{APQ}$の面積が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　(3)で求めた点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}$を通る直線の方程式は，実数$a$を用いて$y=ax-2$と表される．また，連立不等式

$y\geqq 0\text{，}y\leqq ax-2\text{，}{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}\leqq 1$

の表す領域を$D$とする．このとき，$a$の値と$D$の面積を求めよ．

(5)　(4)で定めた領域$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x^4+2x^3+x+2$を因数分解せよ．

(2)　$a$は正の実数とする．次の定積分を求めよ．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{dx}{(x+a)(x+a+1)}}$

(b)　${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{dx}{x^2-ax+a^2}}$

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{4x+1}{x^4+2x^3+x+2}}dx$を求めよ．