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2017-13442-0801
2017 東京理科大学 基礎工学部B方式
2月4日実施
15点
易□ 並□ 難□
【1】(1) 2⁢x- 54⁢ x2- 1> 0 を満たす実数 x の値の範囲は
- ア イ< x< ウ エ , オ カ <x
である.
(2) 2⁢x- 54⁢ x2- 1> -1 を満たす実数 x の値の範囲は
x<- キ ク ,- ケ コ < x< サ シ , ス< x
(3) 2x+ 1-5 4x +1- 1> -1 を満たす実数 x の値の範囲は
x<- セ , ソ< x
2017-13442-0802
【2】 図の四角形 PQRS は縦の長さが 1 , 横の長さが 2 の長方形である.図の中の,頂点 Q を中心とする半径 1 の扇形の弧の部分を D1 , 頂点 R を中心とする半径 1 の扇形の弧の部分を D 2 とする.図のように弧 D1 ,D 2 と辺 PS のすべてに接する円を C 1 とする.さらに,弧 D 1 と円 C 1 と辺 PS のすべてに接するような円を C 2 とする.
(1) 円 C 1 の半径 r 1 は ア イ である.長方形の頂点 Q と円 C 1 の中心を結ぶ線分と,長方形の辺 QR のなす角の大きさを θ 1 とするとき, sin⁡θ 1 の値は ウ エ ,cos⁡ θ1 の値は オ カ である.
(2) 円 C 2 の半径 r 2 は キ ク である.長方形の頂点 Q と円 C 2 の中心を結ぶ線分と,長方形の辺 QR のなす角の大きさを θ 2 とするとき, sin⁡θ 2 の値は ケ コ ,cos⁡ θ2 の値は サ シ である.
2017-13442-0803
【3】 点 O を中心とする半径 1 の円 C において,点 A は円 C の周上の点,点 B は円 C の内部の点で,点 A , 点 O , 点 B はこの順で一直線上に並んでおり,線分 OB の長さは 12 であるとする. P を円 C の周上の点とする.
(1) 円 C の周上の点 P が ∠ AOP が直角となる位置にあるとき,線分 AP と線分 BP の長さの和は ア + イ ウ であり, cos⁡∠ APB の値は エオ カキ である.
(2) 点 P が円 C の周上を動くとき,線分 AP と線分 BP の長さの和の最小値は ク ケ , 最大値は コ サ ⁢ シ である.
2017-13442-0804
【4】 2 つの数列 { an }, { bn } を,
{ a1 =1 ,b1 =3 an+ 1= 14⁢ a n- 34 ⁢ bn ,bn +1= 3 4⁢ an + 14⁢ b n( n= 1, 2, 3, ⋯ )
によって定義し,実部が an , 虚部が b n である複素数 z n を考える.
(1) zn+ 1=α ⁢zn を満たす複素数 α は ア イ + ウ エ ⁢ オ ⁢ i である.ただし, i を虚数単位とする.
(2) 数列 { an }, { bn } の一般項は,
{ an =( カ キ ) n-2 ×cos ⁡( ク ケ ⁢ π⁢ n) bn= ( コ サ ) n-2 ×sin⁡ ( シ ス ⁢ π⁢ n)
となる.
(3) 複素数平面上において,複素数 z n を表す点を Pn とし,線分 Pn P n+1 の長さを L n とすると, L1= セ となり,さらに, ∑n= 1∞ Ln =ソ ⁢ タ となる.
2017-13442-0805
40点
【5】 座標平面において E を
x22 +y 2=1
で表される楕円とする.また, E 上の点 P ( 2 ⁢3 3 , 3 3 ) における E の接線を l 1 とする.
(1) l1 の傾きを求めよ.
l1 上の点で x 座標が 4 3⁢ 3 であるものを A とする.
(2) 点 A の y 座標を求めよ.
(3) 点 A を通り,傾きが m である直線と楕円 E が共有点をもつとき,その共有点の x 座標を m の式で表せ.
点 A を通り,楕円 E に接する直線で l 1 とは異なるものを l 2 とする.
(4) l2 の傾きを求めよ.
楕円 E と l 2 の接点を Q とする.
(5) 点 Q の座標を求めよ.
(6) 三角形 PAQ の内部と楕円 E の内部の共通部分の領域を y 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.