2017　東京理科大学　理学部応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内の英文字にあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$0$は$+0$で表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）で表すものとする．

　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$枚の硬貨を投げて，表が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，裏が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む．自然数$n$に対して，硬貨を$n$回続けて投げるとき，$1$回目から$n$回目までのいずれかの時点で点$\mathrm{P}$の座標が$n$であるような確率を$p_n$とする．

(1)　$p_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{p}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$p_{n+2}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{p}_{n+1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{p}_n$が成り立つ．

（ヒント：$1$回目に表が出た場合と裏が出た場合について考えよ．）

(3)　$a_n=p_{n+1}\boxed{\text{(a)}}\boxed{\text{ケ}}{p}_n\text{，}{b}_n=p_{n+1}\boxed{\text{(b)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{p}_n$とおくと，(2)より，$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$はそれぞれ公比$\boxed{\text{(c)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}\boxed{\text{(d)}}\boxed{\text{セ}}$の等比数列である．

(4)　(3)より，$p_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\boxed{\text{(e)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{\left(\boxed{\text{(f)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\right)}^n$が成り立つ．

(5)　$n$がすべての自然数を動くとき，$p_n$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}$最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【２】　$a\text{，}k$は実数の定数とし，$f(x)=x^3+x^2+ax+3$とおく．

(1)　方程式$f(x)=0$が重解をもつような$a$の値を求めよ．また，そのときの$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$の値に対し，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　直線$y=kx$が(2)で描いたグラフとただ$1$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)　$a$が(4)で求めた範囲の値をとるとき，方程式$f(x)=0$の実数解がとり得る値の範囲を求めよ．