2017　東邦大学　医学部医学科MathJax

2017-13460-0201

数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2017　東邦大学　医学部医学科

1月25日実施

易□　並□　難□

【１】　 $AB = 3 ， BC = 2 ， CA = \sqrt{5}$ である $▵ ABC$ において，頂点 $C$ から辺 $AB$ へ垂線 $CH$ を下ろす．このとき， $AH = \frac{ア}{イ}$ であり， $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}$ の値は $\frac{ウ \sqrt{エ}}{オカ}$ である．

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【２】　 $a ， b ， c$ をそれぞれ定数とする．等式 $\frac{1 - x}{1 + x^{3}} = \frac{a + b x}{1 - x + x^{2}} + \frac{c}{1 + x}$ が $x$ についての恒等式になるとき， $a$ の値は $\frac{キ}{ク}$ である．また，定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1 - x}{1 + x^{3}} d x$ の値は $\frac{ケ}{コ} \log サ$ である．ただし， $\log$ は自然対数を表す．

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【３】　不等式 $2^{x} - 2^{8} ≦ 4 - 2^{10} 2^{- x}$ を満たす $x$ の値の範囲は $シ ≦ x ≦ ス$ である．この範囲で，関数 $f (x) = \log_{4} x + \log_{x} 4$ の最小値と最大値はそれぞれ $セ， \frac{ソ}{タ}$ である．

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【４】　極方程式 $r = - 16 \sin (θ + \frac{π}{3})$ で表される曲線は，直交座標で中心 $(アイ \sqrt{ウ}, エオ) ，$ 半径 $カ$ の円である．

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【５】　 $a$ を定数とし，関数 $f (x)$ を $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + a x - 10$ と定める．曲線 $y = f (x)$ の変曲点の $x$ 座標は $キ$ と $ク$ である．ただし， $キ < ク$ である．また， $f (x)$ が極大値をもつような $a$ の値の範囲は $ケ < a < コサ$ である．

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【６】　 $O$ を原点とする座標平面上に， $| \vec{OA} | = 5 ，$ $| \vec{OB} | = 3$ を満たす $▵ OAB$ がある． $▵ OAB$ の重心の座標が $(2, \sqrt{2})$ のとき，内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値は $シス$ であり， $▵ OAB$ の面積は $\frac{セ \sqrt{ソ}}{タ}$ である．

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2017年東邦大医学科【７】2017134600207の図

【７】　円に内接する四角形 $ABCD$ の対角線 $BD$ 上に， $∠ ACB = ∠ DCE$ となるように点 $E$ をとる．四角形の $4$ 辺の長さがそれぞれ $AB = 1 ， BC = 3 ， CD = 2 ， DA = 3$ のとき， $\cos ∠ ABC = \frac{アイ}{ウ}$ であり， $CE = \frac{エ \sqrt{オカ}}{キク}$ である．

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【８】　 $2$ つの班のテスト結果について平均値と分散を求めたところ，次のようになった．

${\begin{cases} A 班 15 人の点数の平均値と分散はそれぞれ 70 ， 10 \\ B 班 10 人の点数の平均値と分散はそれぞれ 80 ， 15 \end{cases}$

このとき， $25$ 人全員の点数の平均値と分散はそれぞれ $ケコ，サシ$ である．

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【９】　 $2$ つの数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ が，

$a_{1} = \frac{2}{3} ， b_{1} = \frac{1}{4} ， a_{n + 1} = \frac{a_{n} - b_{n}}{3} - \frac{1}{2} ， b_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + 4 b_{n}}{3} + 1 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

によって定められている．このとき，数列 ${2 a_{n} + b_{n}}$ は公比 $\frac{ス}{セ}$ の等比数列であり， $\lim_{n \to \infty} (b_{n} - n) = \frac{ソ}{タ}$ である．

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【10】　 $a ， b ， c ， d ， e$ はそれぞれ $1$ 以上かつ $9$ 以下の自然数であり， $(a + b + c) (d + e) = 104$ を満たす．このとき， $a ≦ b ≦ c$ および $d ≦ e$ を満たす $(a, b, c, d, e)$ の組は $チツ$ 通りある．また， $a ≦ b ≦ c ≦ d ≦ e$ を満たす $(a, b, c, d, e)$ の組は $テト$ 通りある．