2017　東邦大学　看護学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$a=5+2\sqrt{6}\text{，}b=5-2\sqrt{6}$とするとき，$a^2+b^2$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　不等式$3(2x-1)>4x+5$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　$x$の$2$次関数$y=(k^2+1)x^2+(2k-1)x-1$のグラフが点$(-1,0)$を通るとき，$k$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$54$について，すべての正の約数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　$\sqrt{315n}$が自然数となるような最小の自然数$n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(6)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$のとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(7)　正$8$面体の面，辺，頂点の数をそれぞれ求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(8)　$10$個のデータ$1\text{，}2\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}5\text{，}8\text{，}8$の平均，分散をそれぞれ求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算を書きなさい）

(1)　$x$の$2$次方程式$x^2+(a+1)x-(a+2)=0$を解け．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算を書きなさい）

(2)　$x\text{，}y$の$2$次式$x^2-2xy+2y^2+2y+4$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算を書きなさい）

(3)　$4$人の男子と$3$人の女子が$1$列に並ぶとき，男子と女子が交互に並ぶ並び方は全部で何通りあるか．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算を書きなさい）

(4)　サイコロを$3$回振り，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出た目をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とするとき，積$abc$が奇数になる確率を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算を書きなさい）

(5)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{CA}=2$とする．

①　$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

②　$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

【３】　次の文中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に適する数値・数式を求め，解答欄に結果のみ答えよ．

$3$つの正の整数$A\text{，}B\text{，}C$の間に$A^2+B^2=C^2$という関係がある．

$A$は$3$より大きな素数で，$A\text{，}B\text{，}C$は$1$以外の正の公約数を持たないとする．

このとき，$B$はどのような正の整数だろうか．

$A^2$は$A^2=C^2-B^2=(C+B)(C-B)\cdots \text{①}$より$2$つの正の整数$C+B$と$C-B$の積で表される．

$A^2$を$2$つの正の整数の積で表すと，$A$は素数だから

$A^2=A\times A=A^2\times \boxed{\text{ア}}\cdots \text{②}$

の$2$通りの仕方で表される．$C+B>C-B>0\text{，}A>3$だから$\text{①，②}$より

$C+B=A^2$かつ$C-B=\boxed{\text{ア}}$

が成り立ち，これから$2B$を$A$の式で表すと

$2B=\boxed{\text{イ}}\cdots \text{③}$

と表される．例えば

$A=7$のとき$2B=\boxed{\text{ウ}}$より$B=\boxed{\text{エ}}\text{，}C=\boxed{\text{オ}}$

となる．

$3$より大きい整数は正の整数$a$を用いて

$6a-2\text{，}6a-1\text{，}6a\text{，}6a+1\text{，}6a+2\text{，}6a+3$

で表されるが，$6a\pm 2$は$\boxed{\text{カ}}\text{，}6a+3$は$\boxed{\text{キ}}\text{，}6a$は$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$でそれぞれ割れるから素数ではない．

よって素数$A$を$a$の式で表すと

$A=6a\pm 1\cdots \text{④}$

と表され，$2B$を$a$の式で表すと

$2B=36a^2\pm \boxed{\text{ク}}a$

よって$B=\boxed{\text{ケ}}a\times (3a\pm 1)\cdots \text{⑤}$

$\text{⑤}$の$a\text{，}3a\pm 1$の一方は偶数である．

よって正の整数$B$は$\boxed{\text{コ}}$の倍数であることが分かる．