2017　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-x^2+6x+a^2-4a$について，$0\leqq x\leqq 5$の範囲で$y$の値が常に$0\leqq y\leqq 14$を満たすような定数$a$の範囲は$-\boxed{\text{ア}}\leqq a\leqq \boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{エ}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$x\text{，}y$についての連立$1$次方程式$x+2y=3-t\text{，}2x+3y=4-t$の解を$t$で表すと

$x=\boxed{\text{オ}}t-\boxed{\text{カ}}\text{，}y=-\boxed{\text{キ}}t+\boxed{\text{ク}}$

である．また，連立方程式

$x+2y+z=3\text{，}2x+3y+z=4\text{，}{x}^2+y^2+z^2=5$

の解のうち，$z>0$となる解は

$x=\boxed{\text{ケ}}\text{，}y=\boxed{\text{コ}}\text{，}z=\boxed{\text{サ}}$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$f(x)=x^4+7x^2+16$のとき，$f(x)=(x^2+\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}})(x^2-\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}})$

である．また，$f(x)=0$の解を${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3\text{，}{\alpha }_4$とすると

${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4=\boxed{\text{タ}}$

${\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_4+{\alpha }_3{\alpha }_4=\boxed{\text{チ}}$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$5^{20}$は$\boxed{\text{ツ}\text{テ}}$けたの数である．$5^{20}=2^x$とおくと，$x$の整数部分は$\boxed{\text{ト}\text{ナ}}$になる．ただし，${\log }_{10}2=0.301$とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　方程式$3\cdot 2^{1+{\log }_4{x}^4}=35-11x$の解は$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(6)　円$x^2+y^2=12$上の点$\mathrm{A}$の座標を$(-2\sqrt{2},2)$とし，$\mathrm{A}$における円の接線上に点$\mathrm{B}(x_1,y_1)$をとる．ただし，$y_1>2$とする．$\mathrm{B}$から円に引いた$2$本の接線の接点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{C}$とおくと，$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であるという．このとき

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ハ}}\text{，}{x}_1=\boxed{\text{ヒ}}(\sqrt{\boxed{\text{フ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}})$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(7)　$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+5\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．線分$\mathrm{AP}$の延長と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}=\boxed{\text{ホ}}:\boxed{\text{マ}}$であり，$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=\boxed{\text{ミ}}:\boxed{\text{ム}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(8)　さいころを投げて出た目に応じ，原点を出発した点$\mathrm{P}$が平面上を移動するゲームを行う．偶数の目が出たときは$x$軸方向に$1$移動し，$1$か$3$の目が出たときは$y$軸方向に$1$移動する．$5$の目が出たときは移動しない．また，$2$回続けて同じ目が出たときは，移動せずにゲームを終了する．さいころを$4$回投げたとき，ゲームが終了せず，点$\mathrm{P}$が$(2,1)$に移動している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(9)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+4n+5\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ユ}}{n}^2+\boxed{\text{ヨ}}n-\boxed{\text{ラ}}$である．また，初項から第$2m$項までについて，奇数番目の項の和を$S_1\text{，}$偶数番目の項の和を$S_2$とするとき，$S_2-S_1=\boxed{\text{リ}}{m}^2+\boxed{\text{ル}}m$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(10)　点$\mathrm{A}(1,0)$を中心とし半径が$1$の円を$C_1\text{，}$原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$2$の円を$C_2$とする．$C_1$上の点$\mathrm{P}\text{，}$および$C_2$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の部分とのなす角がそれぞれ$\theta \text{，}2\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$となるようにとる．このとき，${\mathrm{PQ}}^2=-\boxed{\text{レ}}{\cos }^2\theta -\boxed{\text{ロ}}\cos \theta +\boxed{\text{ワ}\text{ン}}$であり，$\mathrm{PQ}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{あ}}\sqrt{\boxed{\text{い}}}}{\boxed{\text{う}}}}$である．

【２】　曲線$y=x^2\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)$における接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{A}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2\text{，}$原点$\mathrm{O}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_3$とする．$l_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}\text{，}{l}_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{C}$とし，曲線と線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{BO}$とで囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線と線分$\mathrm{AC}\text{，}$線分$\mathrm{CO}$とで囲まれた部分の面積を$S_2$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$の$y$座標を$\alpha$で表せ．

(2)　$S_1$を$\alpha$で表せ．

(3)　$S_1=7S_2$となるような$\alpha$の値を求めよ．