2017　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】(1)　一辺の長さが$6$である正三角形$\mathrm{ABC}$の外接円$O$の弧$\mathrm{AB}$（ただし短いほうの弧）の上に，$\text{弧}\mathrm{SP}:\text{弧}\mathrm{PB}=1:3$となる点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$における円$O$の接線と線分$\mathrm{CB}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\angle \mathrm{PQB}$の大きさは$\boxed{\text{ア}}$度であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】(2)　$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CA}=5$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}\angle \mathrm{BCA}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{CE}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

(ⅲ)　線分$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{AEI}$の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　$xy$平面で，次の$2$直線を考える．

$l_1\text{：}ax-y-a=0$

$l_2\text{：}(a-1)x-(a+1)y+a+1=0$

$a$の値にかかわらず，直線$l_1$は定点を通る．この点を$\mathrm{A}$とする．$a$の値にかかわらず，直線$l_2$は定点を通る．この点を$\mathrm{B}$とする．また，直線$l_1$と直線$l_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．実数$a$が$a>1$の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標は，それぞれ$\mathrm{A}(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$と$\mathrm{B}(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$である．

(2)　直線$l_1$と直線$l_2$とのなす角を鋭角で求めると$\boxed{\text{サ}}$度である．

(3)　点$\mathrm{C}$が描く曲線に両端を入れて考えると，その長さは$\boxed{\text{シ}}$である．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【３】(1)　不等式

${\displaystyle \frac{1}{4}}{\log }_{\frac{1}{3}}(3-x)<{\log }_9(x-1)$

を満たす$x$の範囲は，$\boxed{\text{セ}}<x<\boxed{\text{ソ}}$である．

【３】(2)　三次関数

$y=f(x)=x^3-4x$

に対して，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$(1,-4)$から曲線$y=f(x)$に引いた接線のうち，傾きが正の値となるものの方程式は，

$y=\boxed{\text{タ}}$

である．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線と曲線$y=f(x)$との共有点のうち，接点以外の点の座標は，$(x,y)=(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$である．

【３】(3)　放物線$C\text{：}y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,1)$と$\mathrm{B}(2,4)$をとる．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$は，$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間を動くものとする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{APB}=90$度となるような点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{テ}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$となるような点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{ト}}$である．

(ⅲ)　曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$で囲まれる図形と，曲線$C$と線分$\mathrm{BP}$で囲まれる図形の面積の和が最小となるような点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{ナ}}$である．

(ⅳ)　$\tan \angle \mathrm{OAP}={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{ニ}}$である．

【４】　$n$は$2$以上の自然数とする．$1$から$n$までの自然数をそれぞれひとつずつ書いた$n$枚のカードが，中の見えない箱に入っている．まず一枚のカードを取り出し，その数字を確認する．取り出したカードは戻さずに，次に$2$枚目のカードを取り出し，その数字を確認する．この作業を繰り返し，直前に取り出したカードの数字より大きい数字が出たときに，景品がもらえることとする．景品がもらえた時点で，作業を終了する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$枚目のカードを取り出したときに景品がもらえる確率は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

(2)　この作業が$n$枚目のカードまで続き，最後の$n$枚目のカードを取り出したときにも景品がもらえない確率は$\boxed{\text{ネ}}$である．

(3)　$n=6$とする．$5$枚目のカードを取り出したときに景品がもらえたとき，最後（$5$枚目）のカードの数字が$6$である条件つき確率は$\boxed{\text{ノ}}$である．