2017　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】　数列$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$a_1=\sqrt{2}\text{，}{a}_2=\sqrt{3}\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}{a}_n$

と定める．

(1)　$a_{10}=2^p{3}^q\sqrt{r}$と表すと，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}\text{，}r=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　${\log }_{10}{a}_n>200$を満たす最小の$n$は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$a$を実数とする．$\theta$についての方程式

$a\cos \theta +2\sin \theta =2a+1$

が$0<\theta <\pi$の範囲で$2$つの異なる解をもつのは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}+\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

のときである．

【３】　袋の中に白球が$20$個，赤球が$50$個入っている．この袋の中から球を$1$球取り出し，色を調べてから袋に戻す．これを$40$回くり返す．このとき，白球が$n$回取り出される確率を$p_n$とする．

(1)　$p_1=\boxed{\text{コ}}{\left({\displaystyle \frac{5}{7}}\right)}^{\boxed{\text{サ}}}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}(\boxed{\text{ス}}-n)}{\boxed{\text{セ}}(+\boxed{\text{ソ}})}}$である．

(3)　白球が取り出される確率が最大になるのは，白球が$\boxed{\text{タ}}$個取り出されるときである．

【４】　中心$(0,a)\text{，}$半径$r$の円が放物線$y=x^2$と$2$点で接するとき，$a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$が成り立つ．また，$2$つの各接点における接線と放物線で囲まれる図形の面積が$18$であるとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【５】　$x$について$1$次以上の整式で表される関数$f(x)\text{，}g(x)$が

$\{\begin{array}{l}f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}\{(x-t)f(t)+g(t)\}dt\\ g(x)={\displaystyle {({\displaystyle {\int }_{-1}^1}xf(t)dt)}^2}\end{array}$

を満たすとき，$f(x)$の項のうち次数が最も高い項の係数は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．また，$g(x)$の項のうち次数が最も高い項の係数は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．