2017　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}i$とおき，複素数$1\text{，}\alpha \text{，}\bar{\alpha }$に対応する複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$は複素数$\beta$を用いて方程式$\beta z+\bar{\beta }\bar{z}+1=0$で表される．この$\beta$を求めよ．

(2)　点$z$が直線$\mathrm{PQ}$上を動くとき，点$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$が描く複素数平面上の図形を求めよ．

(3)　点$z$が三角形$\mathrm{PQR}$の周および内部を動くとき，点$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$の動く範囲を複素数平面上に図示し，その面積を求めよ．

【２】　正の実数$a$に対して

$f(x)=(2-ax)e^{-a(x-2)}$

とする．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．

(2)　$f(x)$を最小にする$x$の値を$p$で表す．このとき

$S={\displaystyle {\int }_0^p}|f(x)|dx$

を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S$を最小にする$a$の値を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$と四面体$\mathrm{ABCP}$の体積をそれぞれ$V\text{，}{V}_{\mathrm{P}}$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AD}}$が成り立つとき，体積比${\displaystyle \frac{V_{\mathrm{P}}}{V}}$を求めよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}$が成り立つとき，体積比${\displaystyle \frac{V_{\mathrm{P}}}{V}}$を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$について，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の対面の面積をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$とする．原点を$\mathrm{O}$として，

$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\delta \overrightarrow{\mathrm{OD}}}{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}$

となる点$\mathrm{I}$を考える．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$V$とするとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面と点$\mathrm{I}$の距離$r$を求めよ．

(3)　(2)の点$\mathrm{I}$は四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の中心であることを示せ．

【４】　$n$を正の整数とする．試行の結果に応じて$k$点（$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）が与えられるゲームがある．ここで$k$点を獲得する確率は，ある$t>0$によって決まっており，これを$p_k(t)$とする．このとき，確率$p_k(t)$は$a\geqq 0$に対して以下の関係式を満足するという．

$p_0(t)=t^n\text{，}{p}_k(t)=a\cdot {\displaystyle \frac{n-k+1}{k}}\dot{}{p}_{k-1}(t)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{p}_k(t)$の値を求めよ．

(2)　$a$を$t$を用いて表せ．

(3)　各$k$に対して，$0\leqq t\leqq 1$の範囲で$p_k(t)$を最大にするような$t$の値$T_k$を求めよ．ただし，$p_k(0)=0\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{），}{p}_n(0)=1$と定める．

(4)　$0<t<1$なる$t$を与えたとき，(3)で求めた$T_k$に対して，

$E={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{T}_k\cdot p_k(t)$

とする．$E$の値を求めよ．

【５】　$3$次の整式$f(x)=x^3+x^2+px+q$（ただし，$p\ne q\text{，}q\ne 0$），および$g(x)={\displaystyle \frac{-1}{x+1}}$が次の条件(＊)をみたすとする．

(＊)　$f(x)=0$の任意の解$\alpha$に対して$g(\alpha )$も$f(x)=0$の解である．

次の問に答えよ．

(1)　$p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　$f(x)=0$は$-2<x<2$の範囲に$3$つの実数解をもつことを示せ．

(3)　$f(x)=0$の任意の解を$2\cos \theta$とするとき，$2\cos 2\theta \text{，}2\cos 3\theta$も解であることを示せ．

(4)　$2\cos \theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$が$f(x)=0$の解であるとき，$\theta$の値を求めよ．