2017　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人が集まり，$2$対$2$の組に分かれて遊ぶことになった．組み分けは$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の順に硬貨を投げて決める．表が出たら赤組，裏が出たら白組とする．いずれかの組が$2$人とも決まった時点で残りの人の組も確定するから，全員が硬貨を投げるとは限らない．

いま，$\mathrm{A}$は硬貨を投げ終えたものとする．ここで，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のそれぞれが$\mathrm{A}$と同じ組になる確率を考えよう．次の1〜５のうち，正しい記述は$\boxed{\text{ア}}$である．

1.　$\mathrm{A}$が赤組か白組かにより，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のうち誰が$\mathrm{A}$と同じ組になる確率が大きいかは異なる．

2.　$\mathrm{A}$と同じ組になる確率は，$\mathrm{B}$が$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$より大きい．

3.　$\mathrm{A}$と同じ組になる確率は，$\mathrm{C}$が$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$より大きい．

4.　$\mathrm{A}$と同じ組になる確率は，$\mathrm{D}$が$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$より大きい．

5.　$\mathrm{A}$と同じ組になる確率は，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$3$人とも同じである．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とするとき，${15}^{50}$は$\boxed{\text{イ}}$桁の整数である．また，${15}^{50}$の最高位の数字は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　曲線$y=6x^3-3x$と$y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+a$が共有点をもち，さらにその点において，それぞれの曲線の接線が等しくなるような定数$a$の値を小さい方から順に並べると，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$となる．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1)\text{，}\mathrm{C}(5,-2)$がある．点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$をみたしながら動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【４】　数列$\{a_n\}$の第$n$項は，$n$を$3$で割ったときの余りの値であり，数列$\{b_n\}$の第$n$項は，$n$を$4$で割ったときの余りの値である．$a_n+b_n+6$が$10$で割り切れるときの$n$の値を，小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とするとき，$c_9=\boxed{\text{シ}}\text{，}{c}_{10}=\boxed{\text{ス}}$である．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を，頂点$\mathrm{A}$を中心として時計の針の回転と逆の向きに$\theta \text{（}0<\theta <90\mathrm{°}\text{）}$だけ回転してできる正方形を${\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$とする．正方形$\mathrm{ABCD}$と${\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の重なった部分の面積が${\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとき，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【４】　複素数$\alpha =2+3i\text{，}\beta =3+i$に対して，$z=s\alpha +t\beta$を考える．ただし，$s\text{，}t$は実数で$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}1\leqq s+t\leqq 3$とする．このとき，複素数平面上で$z$が存在する部分の面積は$\boxed{\text{シ}}$である．

【５】　長さ$5$の線分$\mathrm{PQ}$がある．点$\mathrm{P}(x,0)$は$x$軸上を$0\leqq x\leqq 5$をみたしながら動き，点$\mathrm{Q}(0,y)$は$y$軸上を$0\leqq y\leqq 5$をみたしながら動く．また線分$\mathrm{PQ}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．

このとき，点$\mathrm{R}$の軌跡と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\pi$である．

また，この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{ソ}}\pi$である．