2017 早稲田大学 教育学部MathJax

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2017 早稲田大学 教育学部

2月19日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1) 座標平面上で,点 O (0 ,0 ) A (0 ,1) B ( 1,0 ) C (1 ,1) を考える.点 P が点 B から点 C まで動くおtき,正方形 AOBC の辺および内部において,線分 OP の垂直 2 等分線が通る範囲の面積を求めよ.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(2)  n 2 以上の自然数とする. 1 から n までの自然数の順列

a1 a2 an

のうち, ak <ak +1 を満たさないような k がただ 1 つだけある順列の総数を P n とする.例えば n =3 の場合,条件を満たす順列全体は { 132,213, 231,312 } であるので, P3 =4 である. Pn+ 1 P n の関係式を求めよ.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(3) 整数係数の 3 次多項式 f (x ) f (0 )=1 かつ f (cos π 7 )=0 を満たすとき, f( x) を求めよ.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(4) 定数 c - 1<c< 1 を満たすとする.すべての実数 x に対して,関係式

f( x)+ f( cx) =x2

を満たす連続関数 f (x ) を求めよ.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【2】  3 つの複素数 α β z は次の関係式

α+β =z α β=i z α β0

を満たしているとする.ただし, i は虚数単位, z z の共役な複素数とする.このとき αβ が実数であるような z の条件を求め,そのような z の集合を複素数平面上に図示せよ.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC において, |OA | =| OB |= |OC | =1 AOB= π6 BOC= π 4 COA= π3 であるとする.次の各問に答えよ.

(1) 頂点 C から三角形 OAB を含む平面に下ろした垂線を CD とするとき, OD OA OB を用いて表せ.

(2) 四面体 OABC の体積を求めよ.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【4】 平面全体に縦横同じ間隔で電球が置かれていて,次の規則で点滅を繰り返すとする.

初めはすべての電球が消えている.

ある 1 個の電球が 1 秒後に点灯し, 2 秒後にその周りに隣接する 8 個の電球が点灯する. 3 秒後には,さらにその外側に隣接する電球が点灯する.一般に n +1 秒後には, n 秒目に初めて点灯した電球の外側に隣接する電球が点灯する.

一度点灯した電球は「 2 秒間点灯して次の 1 秒間消灯」を繰り返す.

右の図は電球の配置の一部を示している.

n1 とする. n 秒後に初めて点灯する電球の個数を a n とし, n 秒後に点灯している電球の個数を b n として,次の問に答えよ.

(1)  an n を用いて式で表せ.

(2)  bn n を用いた式で表せ.

(3) 極限値 limn b nn2 を求めよ.



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