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2017-13591-0601
2017 早稲田大学 政治経済学部
2月20日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の各問に答えよ.答のみ解答欄に記入せよ.
(1) 次の和を求めよ. 4+7⋅ 4+10⋅ 42+ ⋯+( 3⁢n+ 1)⋅ 4n-1
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(2) i を虚数単位とするとき, ∑ k=1 2017 ( 1 -i2 ) 2⁢k の値を求めよ.
2017-13591-0603
(3) 1 個のさいころを n 回投げるとき,少なくとも 1 回は 6 の目が出る確率を p n とする.このとき, pn ≧0.95 となる最小の n の値を求めよ.ただし, log10 ⁡2=0.3010 , log10 ⁡3= 0.4771 とする.
2017-13591-0604
(4) sin⁡( x+y )= 1 3 , cos⁡ (x- y)= 2 5 であるとき, sin⁡2 ⁢x⁢sin ⁡2⁢ y の値を求めよ.
2017-13591-0605
【2】 箱の中に 1 から n までの数字が 1 つずつかかれた n 枚のカードがある.この箱の中から 1 枚のカードを取り出して,数字を確かめてからもとにもどす.この試行を 3 回繰り返し, 1 回目, 2 回目, 3 回目に取り出したカードの数字をそれぞれ X , Y ,Z とするとき,次の各問に答えよ.答のみ解答欄に記入せよ.
(1) X=Y< Z になる場合の数を求めよ.
(2) X ,Y , Z のうち,少なとも 2 つが等しい場合の数を求めよ.
(3) X<Y< Z になる場合の数を求めよ.
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【3】 xy 平面上の放物線 y =x2 +1 を C1 , 直線 y =2⁢x を l , C1 と l の接点を P , 放物線 y =a⁢x 2+b⁢ x+c ( a <0 ,b< 0 ,a , b ,c は定数)を C 2 とする. C2 は点 P を通るものとする.また, C1 と C 2 によって囲まれた図形の面積を S 1 とし, C2 と l によって囲まれた図形の面積を S 2 とする.このとき次の各問に答えよ.ただし,(1),(2),(3)については答のみ解答欄に記入せよ.
(1) 点 P の座標を求めよ.
(2) 点 P とは異なる C 1 と C 2 の交点の x 座標を α とおく. α を a , b の式で表せ.
(3) 点 P とは異なる C 2 と l の交点の x 座標を β とおく. β を a , b の式で表せ.
(4) S1 :S2 =1:2 であるとき, a の値を求めよ
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【4】 直方体 OAC ′B ‐CB′ O′ A′ について,各辺の長さを OA =a ,OB =b ,OC= c とする.また,辺 OA を p :(1 -p ) に内分する点を P , 辺 OB を q :(1 -q ) に内分する点を Q , 辺 OC を r :(1 -r ) に内分する点を R とする.ただし, 0<p< 1 ,0< q<1 , 0<r <1 である.対角線 OO ′ と ▵ PQR の交点を M とするとき,次の各問に答えよ.ただし,(1),(2)については答のみ解答欄に記入せよ.
(1) OO′ の長さを求めよ.
(2) OM の長さを求めよ.
(3) ▵PQR の重心が点 M と一致するとき, p:q: r を求めよ.
(4) ▵PQR の垂心が点 M と一致するとき, p:q: r を求めよ.