2017　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　次の和を求めよ．$4+7\cdot 4+10\cdot 4^2+\cdots +(3n+1)\cdot 4^{n-1}$

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(2)　$i$を虚数単位とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2017}}{\left({\displaystyle \frac{1-i}{\sqrt{2}}}\right)}^{2k}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(3)　$1$個のさいころを$n$回投げるとき，少なくとも$1$回は$6$の目が出る確率を$p_n$とする．このとき，$p_n\geqq 0.95$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(4)　$\sin (x+y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{，}\cos (x-y)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$であるとき，$\sin 2x\sin 2y$の値を求めよ．

【２】　箱の中に$1$から$n$までの数字が$1$つずつかかれた$n$枚のカードがある．この箱の中から$1$枚のカードを取り出して，数字を確かめてからもとにもどす．この試行を$3$回繰り返し，$1$回目，$2$回目，$3$回目に取り出したカードの数字をそれぞれ$X\text{，}Y\text{，}Z$とするとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$X=Y<Z$になる場合の数を求めよ．

(2)　$X\text{，}Y\text{，}Z$のうち，少なとも$2$つが等しい場合の数を求めよ．

(3)　$X<Y<Z$になる場合の数を求めよ．

【３】　$xy$平面上の放物線$y=x^2+1$を$C_1\text{，}$直線$y=2x$を$l\text{，}{C}_1$と$l$の接点を$\mathrm{P}\text{，}$放物線$y=a{x}^2+bx+c$（$a<0\text{，}b<0\text{，}a\text{，}b\text{，}c$は定数）を$C_2$とする．$C_2$は点$\mathrm{P}$を通るものとする．また，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_2$と$l$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)については答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$とは異なる$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$とは異なる$C_2$と$l$の交点の$x$座標を$\beta$とおく．$\beta$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(4)　$S_1:S_2=1:2$であるとき，$a$の値を求めよ

【４】　直方体${\mathrm{OAC}}^{\prime }\mathrm{B}‐{\mathrm{CB}}^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$について，各辺の長さを$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\mathrm{OC}=c$とする．また，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1\text{，}0<q<1\text{，}0<r<1$である．対角線${\mathrm{OO}}^{\prime }$と$▵\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)については答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　${\mathrm{OO}}^{\prime }$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{OM}$の長さを求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$の重心が点$\mathrm{M}$と一致するとき，$p:q:r$を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{PQR}$の垂心が点$\mathrm{M}$と一致するとき，$p:q:r$を求めよ．