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2017-13591-0701
2017 早稲田大学 商学部
2月21日実施
易□ 並□ 難□
【1】 ア 〜 オ にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ.
(1) xy 平面において,関数
y=f⁡ (x )= 1 2⁢ ∫x- 1x+ 1 || t|- 1| ⁢dt
のグラフと直線 y =1 で囲まれた部分の面積は ア である.
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(2) a ,b , c は整数とする. 4 次方程式
x4+ a⁢x3 +b⁢ x2+c ⁢x+3 =0
の実数解が 1 と 3 となるような a の最大値は イ で,最小値は ウ である.
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(3) 三角形 ABC において, AB=3 , BC=4 , CA= 5 である.三角形 ABC の内部の点 O から線分 AB に下ろした垂線と線分 AB との交点を P , 点 O から線分 BC に下ろした垂線と線分 BC との交点を Q , 点 O から線分 CA に下ろした垂線と線分 CA との交点を R とする. OP2 +OQ2 +OR2 が最小となるとき, OR= エ である.
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(4) 実数 a , b に対し, max⁡{ a,b } を次のように定める.
a≧b のとき, max⁡{ a,b }=a
a<b のとき, max⁡{ a,b} =b
次の条件(*)を満たす整数 k の最大値は オ である.
(*) すべての整数 n に対して, max⁡{ 10-k ⁢2 n,10 100⁢3 -n }≧1
ただし, 0.301<log 10⁡2 <0.3011 ,0.4771 <log10 ⁡3< 0.4772 である.
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【2】 正の整数 n に対して, pn =[ n3 ] とする.ただし,実数 x に対し, [x ] は x 以下の最大の整数を表す.例えば, [1.5 ]=1 , [3 ]=3 である.次の設問に答えよ.
(1) [n 3] =2 となる正の整数 n で, 4 の倍数であるものをすべて求めよ.
(2) 106 以下の正の整数 n で, pn 2 の倍数であるものの個数を求めよ.
(3) 正の整数 n に対して,整数 q n を
n が pn2 の倍数でないとき, 0
n が pn2 の倍数であるとき, n を pn⁢ (pn +1 ) で割ったときの余り
と定義する.
S= ∑n= 1106 qn =q1 +q2+ q3+ ⋯+q 106
を求めよ.
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【3】 n を正の整数とする.次の条件(*)を満たす x についての n 次式 Pn⁡ (x ) を考える.
(*) すべての実数 θ に対して, cos⁡n ⁢θ= Pn⁡ (cos⁡ θ)
次の設問に答えよ.
(1) n≧2 のとき, Pn+ 1⁡ (x ) を Pn⁡ (x ) と P n-1 ⁡( x) を用いて表せ.
(2) Pn ⁡(x ) の x n の係数を求めよ.
(3) cos⁡θ =1 10 とする. 101000 ⁢cos2 ⁡( 500⁢θ ) を 10 進法で表したときの,一の位の数字を求めよ.