2017　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$xy$平面において，関数

$y=f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{x-1}^{x+1}}\left|\right|t|-1|dt$

のグラフと直線$y=1$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$は整数とする．$4$次方程式

$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+3=0$

の実数解が$1$と$3$となるような$a$の最大値は$\boxed{\text{イ}}$で，最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=5$である．三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{CA}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．${\mathrm{OP}}^2+{\mathrm{OQ}}^2+{\mathrm{OR}}^2$が最小となるとき，$\mathrm{OR}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　実数$a\text{，}b$に対し，$\max \{a,b\}$を次のように定める．

$a\geqq b$のとき，$\max \{a,b\}=a$

$a<b$のとき，$\max \{a,b\}=b$

次の条件(＊)を満たす整数$k$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

(＊)　すべての整数$n$に対して，$\max \{{10}^{-k}{2}^n,{10}^{100}{3}^{-n}\}\geqq 1$

ただし，$0.301<{\log }_{10}2<0.3011\text{，}0.4771<{\log }_{10}3<0.4772$である．

【２】　正の整数$n$に対して，$p_n=[\sqrt[3]{n}]$とする．ただし，実数$x$に対し，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．例えば，$[1.5]=1\text{，}[3]=3$である．次の設問に答えよ．

(1)　$[\sqrt[3]{n}]=2$となる正の整数$n$で，$4$の倍数であるものをすべて求めよ．

(2)　${10}^6$以下の正の整数$n$で，${p_n}^2$の倍数であるものの個数を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して，整数$q_n$を

$n$が${p_n}^2$の倍数でないとき，$0$

$n$が${p_n}^2$の倍数であるとき，$n$を$p_n(p_n+1)$で割ったときの余り

と定義する．

$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{{10}^6}}{q}_n=q_1+q_2+q_3+\cdots +q_{{10}^6}$

を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とする．次の条件(＊)を満たす$x$についての$n$次式$P_n(x)$を考える．

(＊)　すべての実数$\theta$に対して，$\cos n\theta =P_n(\cos \theta )$

次の設問に答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$P_{n+1}(x)$を$P_n(x)$と$P_{n-1}(x)$を用いて表せ．

(2)　$P_n(x)$の$x^n$の係数を求めよ．

(3)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{10}}$とする．${10}^{1000}{\cos }^2(500\theta )$を$10$進法で表したときの，一の位の数字を求めよ．