2017　南山大　経営，外国語学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$次方程式$2x^2-4ax+3a=0$は異なる$2$つの解をもつ．$1$つの解が$2$より大きく，他の解が$2$より小さいとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$2$つの解がともに$1$より大きいとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{2}$とする．このとき，外接円の半径は$\boxed{\text{ウ}}$であり，外接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，$▵\mathrm{AOB}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$次方程式$2x^2-7x+8=0$の異なる$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の値は$\boxed{\text{オ}}$であり，${(\alpha -1)}^4{(\beta -1)}^4$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　円$x^2+{(y-2)}^2=25$上の点$(3,6)$における接線$l$の方程式は$\boxed{\text{キ}}$である．また，円$x^2+y^2-18x-18y+a=0$と$l$が共有点をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-2)=1$の解は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$2{\log }_3(3-x)\geqq {\log }_3(x-1)$を満たす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$a$を実数として，$x$の$4$次関数$f(x)=x^4+4x^3-a{x}^2$を考える．

(1)　$a=8$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　$a=8$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　(3)のとき，$f(x)$が$x=0$において極小になるような$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　座標平面上の$4$点$(1,1)\text{，}(6,1)\text{，}(6,6)\text{，}(1,6)$を頂点とする四角形の周および内部にある$36$個の格子点（$x$座標，$y$座標がともに整数である点）のうち，異なる$4$点を頂点とする四角形を考える．このとき，$2$辺が$x$軸に平行な四角形は全部で$\boxed{\text{キ}}$個あり，そのうち正方形は全部で$\boxed{\text{ク}}$個ある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，その外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{GF}$と線分$\mathrm{OE}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{GF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{GF}}=\boxed{\text{ケ}}$であり，$\mathrm{GH}:\mathrm{HF}=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$1$辺の長さが$1\mathrm{cm}$の正三角形のタイルがたくさんある．このタイルを図のようにすき間なく並べて$1$辺の長さが$n\mathrm{cm}$の正三角形をつくる．このとき，必要なタイルの枚数を$a_n$とする．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおき，$b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　(1)の結果を利用して，$a_n=n^2$であることを示せ．

(3)　図のように，上の段から順に，そして，左から右の順に，タイルに自然数を$1$から$1$つずつ書いていく．このとき，上から$k$段目，左から$k$番目の数字を$k$の式で表せ．ただし，$k$は$n$以下の自然数とする．

(4)　(3)のようにタイルに自然数を書くとき，$133$が書かれるのは，$1$辺の長さが何$\mathrm{cm}$以上の正三角形をつくったときか．また，$133$は上から何段目，左から何番目の位置にあるか．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x^2}}\log tdt\text{（}x>0\text{）}$は，$x=\boxed{\text{ケ}}$において極大となる．また，$f(e)$を求めると，$f(e)=\boxed{\text{コ}}$である．ただし，$e$は自然対数の底である．

【３】　$-1\leqq x\leqq 1$で定義される関数$f(x)=x^2\sqrt{1-x^2}$を考える．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．