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2017-14576-0301
2017 南山大学 理工学部
A方式,B方式共通
2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) 直線 y =k⁢( x+1 ) が曲線 y =x2- 3⁢x と共有点をもつ k の値の範囲は ア である.また, y=2⁢ (x+ 1) と y =x2 +2⁢ |x -3| -4 の共有点の座標は イ である.
2017-14576-0302
(2) 生徒 10 人のハンドボール投げの距離を小さい方から順に並べたものが次のデータである.
16 ,20 , 23 ,25 , 26 ,28 , 28 ,30 , 35 ,37 (メートル)
このとき,このデータの中央値を求めると ウ メートルであり,四分位範囲は エ メートルである.ただし,四分位範囲とは,第 3 四分位数から第 1 四分位数を引いた値である.
2017-14576-0303
(3) 数列 { an } の初項から第 n までの和が n2-2 ⁢n ( n= 1 ,2 , ⋯ ) であるとする.このとき,一般項 a n を n の式で表すと an= オ である.また, Tn = ∑k= 1n a2⁢ k-1 を n の式で表すと Tn= カ である.
2017-14576-0304
(4) 関数 f ⁡(θ )=cos ⁡θ-2 ⁢cos⁡2 ⁢θ-2 ⁢sin⁡⁢ sin⁡2⁢ θ+1 があり, 0≦θ <2⁢π とする. cos⁡θ =t とおき, f⁡( θ) を t の整式で表すと キ である.また, f⁡( θ)= 0 の解で不等式 sin ⁡θ+cos ⁡θ> 1 を満たすものを求めると θ = ク である.
2017-14576-0305
【2】 O を原点とする座標空間に 3 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 2,1, -2) ,B ( 1,-2 ,1) があり, O , A , B の定める平面を α とする.また, α 上にない点 P から α に引いた垂線と α の交点を H とする.
(1) cos⁡∠ AOB を求めよ.
(2) ▵OAB の面積 S を求めよ.
(3) HP→ =( a,b, c) とおくとき, a ,b をそれぞれ c で表せ.
(4) P の座標が ( 9,7, 9) のとき, OH→ =s⁢ OA→ +t⁢ OB→ を満たす s , t の値を求め, H の座標を求めよ.
2017-14576-0306
【3】 1<a <e2 のとき,曲線 C :y= e2⁢x と直線 l :y=a を考える.また, C と l と y 軸とで囲まれた図形を D 1 とし, C と l と直線 x =1 とで囲まれた図形を D 2 とする.
(1) C と l の交点の x 座標を求めよ.
(2) 不定積分 ∫ e2⁢ x⁢d x を求めよ.
(3) D1 の面積と D 2 の面積の和 S ⁡(a ) を求めよ.
(4) 1<a <e2 の範囲で(3)の S ⁡(a ) の増減を調べ, S⁡( a) が最小となる a の値とそのときの S ⁡(a ) の値を求めよ.
2017-14576-0307
B方式
(5) 極限 limx→ ∞ x 4⁢x2 +2⁢x +1 を求めると ケ である.また,極限 limx→ ∞( 4⁢x 2+2⁢ x+1- 4⁢x 2+x+ 1) を求めると コ である.
2017-14576-0308
(6) 複素数平面上に点 O⁡ (0 ), A⁡ (2 ), B⁡ (1+ 3⁢i ), C⁡ (γ ) があり,四角形 OABC は平行四辺形である.このとき, γ を求めると γ = サ である.さらに,点 D ⁡(δ ) が | δ|= |δ- γ| =2 を満たし, OBCD が四角形をなすとき, δ を求めると δ = シ である.
2017-14576-0309
(7) n を自然数とする. n2 +59 が自然数になるとき n = ス であり, n2 +52 が自然数になるとき n = セ である.
2017-14576-0310
(8) U= {1, 2,3, 4,5, 6,7, 8,9 } を全体集合とし, A= {2, 7,9 } とおく.また, U の部分集合 B は A∪ B= {1, 2,3, 6,7, 8,9 } を満たす.このとき, B の要素の個数 n ⁡( B ) のとりうる値は n ⁡(B )= ソ である.さらに, U の部分集合 C が ( A∪ B) ∩C =A∪ B を満たすとき, C の要素の個数 n ⁡( C ) のとりうる値は n ⁡( C) = タ である.