2017　南山大　経営，外国語学部2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を求めると，${\alpha }^2+{\beta }^2=\boxed{\text{ア}}$であり，${\alpha }^5+{\beta }^5$の値を求めると，${\alpha }^5+{\beta }^5=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{10}$の$▵\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として$▵\mathrm{ABC}$を折ると，点$\mathrm{A}$は$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$にちょうど重なった．このとき，$\cos \angle \mathrm{PBM}=\boxed{\text{ウ}}$であり，$\mathrm{AP}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$種類のガラス板$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がある．光は$\mathrm{A}$を$1$枚通るごとにその強さは${\displaystyle \frac{8}{9}}$になり，$\mathrm{B}$を$1$枚通るごとにその強さは${\displaystyle \frac{5}{6}}$になる．$\mathrm{A}$のみを重ねて，光の強さがはじめの${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下になるのは，$\mathrm{A}$を$\boxed{\text{オ}}$枚以上重ねたときである．一方，$\mathrm{A}$を$10$枚重ね，さらに$\mathrm{B}$を重ねるとすると，光の強さがはじめの${\displaystyle \frac{1}{5}}$以下になるのは，$\mathrm{B}$を$\boxed{\text{カ}}$枚以上重ねたときである．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$\sin {\alpha }_1=\sqrt{3}\cos {\alpha }_1\text{，}\sin {\beta }_1=\cos {\beta }_1$が成り立つとき，$\tan ({\alpha }_1-{\beta }_1)=\boxed{\text{キ}}$である．また，$(\tan {\alpha }_2+1)(\tan {\beta }_2-1)+2=0$がなりたつとき，$\tan ({\alpha }_2-{\beta }_2)=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$xy$平面上の点$(0,2)$を通り，$x$軸に接する円の中心の軌跡を$C$とする．$C$の方程式は$y=\boxed{\text{ケ}}$である．$C$上の点$\mathrm{P}(a,b)$（ただし，$a>0$）における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{R}(a,0)$と$\mathrm{Q}$の距離が最小となるのは$a=\boxed{\text{コ}}$のときである．

【２】　$xy$平面上に，曲線$C\text{：}y=|2(x-1)(x+1)|$と直線$l\text{：}y=ax-2a+4$がある．ただし，$a$は定数とする．

(1)　$a$の値にかかわらず，$l$はある定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$y=|2(x-2)(x+1)|$の極大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$C$と$l$が異なる$4$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$a=-1$のとき，$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　男の先生$\mathrm{A}\text{，}$男子生徒$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}$女子生徒$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の$8$人が$8$人用の円卓を囲んで座る．男性が$3$人以上続いて並ぶ座り方は全部で$\boxed{\text{オ}}$通りあり，そのうち先生の両隣が男子生徒となる座り方は全部で$\boxed{\text{カ}}$通りある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a_1=4\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{16}{{(a_n)}^2}}$を満たす数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$がある．$b_n={\log }_2{a}_n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表すと$b_{n+1}=\boxed{\text{キ}}$であり，$b_n$の一般項は$b_n=\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(5,3)\text{，}\mathrm{B}(1,6)$と円$K$がある．$K$上の任意の点$\mathrm{P}$は$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$を満たす．ただし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$である．

(1)　$K$の中心が点$\mathrm{C}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$K$の半径$r$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}(6,8)$に対し，$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$とする．$m=\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$とおくとき，$m$の最大値およびその値を与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．